Bài 4. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 34 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Một người đánh cá đang ở trên thuyền (vị trí A) cách bờ biển (điểm P) 2 km về phía đông trên đường bờ biển thẳng theo phương bắc nam. Nhà anh ấy nằm bên bờ biển, cách vị trí điểm P khoảng 6 km về phía bắc. Anh ấy có thể chèo thuyền với vận tốc 3 km/h và đi bộ với vận tốc 5 km/h (giả sử vận tốc của dòng nước là không đáng kể so với vận tốc mà người đánh cá chèo thuyền). Anh ấy dự kiến sẽ chèo thuyền thẳng đến một điểm Q đâu đó trên bờ biển về phía bắc điểm P, với 0 ≤ PQ ≤ 6 (km), rồi đi bộ quãng đường còn lại để về nhà.

a) Hãy chọn các kí hiệu cho các đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết trong bài toán trên.

b) Tìm các mối quan hệ giữa các kí hiệu trong câu a).

c) Nếu anh ấy chèo thuyền đến P rồi đi bộ về nhà thì hết bao nhiêu thời gian?

d) Nếu anh ấy chèo thuyền đến điểm Q, rồi đi bộ về nhà thì hết bao nhiêu thời gian?

Phương pháp giải:

Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

a) Kí hiệu v₁ là vận tốc chèo thuyền (v₁ = 3 km/h) và v₂ là vận tốc đi bộ (v₂ = 5 km/h).

Kí hiệu S₁, v₁ là quãng đường và vận tốc chèo thuyền của người đánh cá khi chèo thuyền.

Kí hiệu S₂, v₂ là quãng đường và vận tốc của người đánh cá khi đi bộ dọc bờ biển.

Ta có: v₁ = 3 km/h, v₂ = 5 km/h.

Đặt \(PQ{\rm{ }} = {\rm{ }}x\) (km), \(x \in \left[ {0;6} \right]\).

b) Ta có: \({S_2} = BQ = 6 - x{\rm{ }}(km)\)

Vì tam giác APQ vuông tại P nên \({S_1} = AQ = \sqrt {A{P^2} + P{Q^2}}  = \sqrt {4 + {x^2}} .\)

c) Nếu anh ấy chèo thuyền đến P rồi đi bộ về nhà thì hết

\(t = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{2}{3} + \frac{6}{5} = \frac{{28}}{{15}}\) (giờ)

d) Nếu anh ấy chèo thuyền đến Q rồi đi bộ về nhà thì hết

\(t = {t_{AQ}} + {t_{QB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{3} + \frac{{6 - x}}{5}\) (giờ)

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Một vật được ném từ mặt đất lên trời xiên góc \(\alpha \) với phương nằm ngang với vận tốc ban đầu \({v_0}\; = 9{\rm{ }}m/s\)(Hình 2.10). Khi đó quỹ đạo chuyển động của vật tuân theo phương trình \(y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \) , ở đó x (mét) là khoảng cách vật bay được theo phương ngang từ điểm ném, y (mét) là độ cao so với mặt đất của vật trong quá trình bay, g là gia tốc trọng trường (theo Vật lí đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2016). 

a) Tính độ cao nhất của vật trên quỹ đạo và xác định thời điểm mà vật đạt được độ cao đó (giả sử gia tốc trọng trường là g = 9,8 m/s²).

b) Xác định góc ném α để tầm ném xa của vật đạt giá trị lớn nhất.

Phương pháp giải:

Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

a) Vì quỹ đạo chuyển động của vật có dạng hàm số bậc 2 đối với biến x có đồ thị là một parabol có bề lõi quay xuống dưới. Độ cao nhất của vật trên quỹ đạo ứng với tung độ đỉnh cao nhất của parabol

Khi đó: \({x_p} = \frac{{ - \tan \alpha }}{{2.\frac{{ - g}}{{2.v_0^2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}}} = \sin \alpha .\cos \alpha .\frac{{v_0^2}}{g};{y_P} = {\sin ^2}\alpha .\frac{{v_0^2}}{{2g}}\)

Tại \({v_0} = 9\)(m/s), ta có độ cao lớn nhất của vật là: \({y_P} = {\sin ^2}\alpha .\frac{{405}}{{98}}\)

Thời điểm vật đạt được độ cao lớn nhất là: \(t = \frac{{{x_p}}}{{{v_0}.\cos \alpha }} = \frac{{{v_0}}}{g}\sin \alpha  = \frac{{45}}{{49}}\sin \alpha \)

b) Tầm ném xa trong chuyển động ném xiên là:

\(L = 2{x_p} = \sin 2\alpha .\frac{{v_0^2}}{g} = \frac{{810}}{{98}}\sin 2\alpha  \le \frac{{405}}{{49}}\).

Tầm ném xa đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{405}}{{49}}\) khi \(\sin 2\alpha  = 1\) hay \(\alpha  = \frac{\pi }{4}\).

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Gọi \({v_{kk}}\) là vận tốc ánh sáng trong không khí và \({v_n}\) là vận tốc ánh sáng trong nước. Theo nguyên lí Fermat, một tia sáng di chuyển từ một điểm A trong không khí đến một điểm B trong nước theo đường gấp khúc APB sao cho tổng thời gian di chuyển là nhỏ nhất (Hình 2.13). Vận dụng đạo hàm tìm vị trí cực trị của hàm số T(x) (tổng thời gian tia sáng đi từ A đến B theo đường gấp khúc APB) để chứng tỏ rằng khi T(x) nhỏ nhất thì góc tới i và góc khúc xạ r thỏa mãn phương trình \(\frac{{\sin i}}{{\sin r}} = \frac{{{v_{kk}}}}{{{v_n}}}\).

Phương trình này được gọi là Định luật Snell.

Phương pháp giải:

Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

Từ hình vẽ, với 0 ≤ x ≤ c ta có: \(AP = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \) và \(PB = \sqrt {{b^2} + {{(c - x)}^2}} .\)

Thời gian ánh sáng di chuyển từ A đến P là: \({t_1} = \frac{{AP}}{{{v_{kk}}}} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{{{v_{kk}}}}.\) .

Thời gian ánh sáng di chuyển từ P đến B là: \({t_2} = \frac{{PB}}{{{v_n}}} = \frac{{\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}{{{v_n}}}.\)

Khi đó, tổng thời gian tia sáng đi từ A đến B theo đường gấp khúc APB là:

\(T\left( x \right) = {t_1} + {t_2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{{{v_{kk}}}} + \frac{{\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}{{{v_n}}},0 \le x \le c.\)

Đạo hàm của hàm T(x) là: \(T'\left( x \right) = \frac{x}{{{v_{kk}}\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} - \frac{{c - x}}{{{v_n}\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}.\)

Ta có

 \(\begin{array}{l}T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{{v_{kk}}\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} = \frac{{c - x}}{{{v_n}\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}.\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{v_{kk}}}} \cdot \frac{x}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} = \frac{1}{{{v_n}}} \cdot \frac{{c - x}}{{\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{v_{kk}}}}\sin i = \frac{1}{{{v_n}}}\sin r \Leftrightarrow \frac{{\sin i}}{{\sin r}} = \frac{{{v_{kk}}}}{{{v_n}}}.\end{array}\)

Giả sử x = x₀ thỏa mãn \(\frac{{\sin i}}{{\sin r}} = \frac{{{v_{kk}}}}{{{v_n}}}\)

Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta có:

\(T\left( 0 \right) = \frac{a}{{{v_{kk}}}} + \frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{{v_n}}};\,\,T\left( {{x_0}} \right) = \frac{{\sqrt {{a^2} + x_0^2} }}{{{v_{kk}}}} + \frac{{\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - {x_0}} \right)}^2}} }}{{{v_n}}};\,\,T\left( c \right) = \frac{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}{{{v_{kk}}}} + \frac{b}{{{v_n}}}.\)

Ta có T(x₀) là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị T(0), T(x₀), T(c).

Vậy T(x) nhỏ nhất khi góc tới i và góc khúc xạ r thỏa mãn phương trình \(\frac{{\sin i}}{{\sin r}} = \frac{{{v_{kk}}}}{{{v_n}}}\).

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược kinh doanh một loại xe máy với chi phí mua vào là 27 triệu đồng/chiếc và giá bán ra là 31 triệu đồng/chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe bán ra mỗi năm là 600 chiếc. Nhằm tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán. Ước tính rằng cứ giảm 1 triệu đồng/chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để thu được lợi nhuận là cao nhất?

Phương pháp giải:

Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

Gọi x (triệu đồng) là số tiền giảm cho mỗi chiếc xe, 0 ≤ x ≤ 31.

Khi đó, số tiền thu được khi bán một chiếc xe máy là 31 – x – 27 = 4 – x (triệu đồng)

Số lượng chiếc xe bán được là: 600 + 200x (chiếc).

Hàm chi phí cho 600 + 200x chiếc xe là: (600 + 200x).27 (triệu đồng).

Hàm doanh thu cho 600 + 200x chiếc xe là:

(600 + 200x).(31 – x) (triệu đồng).

Khi đó, lợi nhuận thu được là:

P(x) = (600 + 200x).(31 – x) – (600 + 200x).27

        = (600 + 200x)(4 – x) = 2 400 + 200x – 200x² (triệu đồng).

Để tối đa hóa lợi nhuận, thì ta phải tìm giá trị lớn nhất của hàm P(x) với 0 ≤ x ≤ 31.

Ta có P’(x) = 200 – 400x = 0 khi x = 0,5.

Khi đó P(0,5) = 2 450 (triệu đồng) là giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận, đạt được khi x = 0,5. Tức là mỗi chiếc xe nên giảm giá 0,5 triệu đồng.

Vậy doanh nghiệp nên định giá bán mới là 30,5 triệu đồng để thu được lợi nhuận cao nhất.

Trả lời câu hỏi Luyện tập4 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Biết rằng \(C\left( x \right) = 16{\rm{ }}000 + 500x--1,64{x^2} + 0,004{x^3}\;\)là hàm chi phí và \(p\left( x \right) = 1{\rm{ }}700--7x\) là hàm cầu của x đơn vị hàng hóa. Hãy tìm mức sản xuất để lợi nhuận là lớn nhất.

Phương pháp giải:

Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

Hàm lợi nhuận là:

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = xp\left( x \right)--C\left( x \right)\\ = x.\left( {1{\rm{ }}700--7x} \right)--(16{\rm{ }}000 + 500x--1,64{x^2} + 0,004{x^3})\\ = 1{\rm{ }}700x--7{x^2}--16{\rm{ }}000 - 500x + 1,64{x^2}--0,004{x^3}\\ = --0,004{x^3}--5,36{x^2} + 1{\rm{ }}200x--16{\rm{ }}000.\end{array}\)

Ta cần tìm x để P(x) là lớn nhất.

Ta có

 \(\begin{array}{l}P'\left( x \right) = --0,012{x^2}--10,72x + 1{\rm{ }}200.\\\begin{array}{*{20}{l}}{P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 0,012{x^2}--10,72x + 1{\rm{ }}200 = 0}\\{ \Leftrightarrow x{\rm{ }} \approx {\rm{ }}100,61.}\end{array}\end{array}\)

Ta có P(100) = 46 400 và P(101) = 46 401,436 nên P(100) < P(101).

Do số đơn vị hàng hóa phải là số nguyên dương nên để lợi nhuận lớn nhất thì mức sản xuất mỗi ngày là 101 đơn vị hàng hóa.

Đề bài

Một cửa sổ có dạng hình phía dưới là hình chữ nhật, phía trên là nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của hình chữ nhật (Hình 2.17). Biết độ dài mép ngoài của cửa sổ, phần sát tường (kể cả phần nửa đường tròn phía trên) là 10 m. Hãy tính các kích thước của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). 

 

Lời giải chi tiết

Gọi x là chiều rộng của hình chữ nhật, y là chiều dài của hình chữ nhật (\(0 \le x,y \le 10\), mét)

Khi đó, bán kính hình tròn là \(\frac{x}{2}\)
Độ dài mép ngoài của phần cửa nửa đường tròn chính là nửa chu vi đường tròn: \(\frac{{\pi x}}{2}\)

Độ dài mép ngoài cửa sổ là: \(x + 2y + \frac{{\pi x}}{2} = 10 \Rightarrow y = \frac{{20 - \pi x - 2x}}{4}\)

Diện tích cửa sổ là: \(S(x) = \frac{{\pi {x^2}}}{8} + x.\frac{{20 - \pi x - 2x}}{4} = \frac{{ - \pi  - 4}}{8}{x^2} + 5x\)

­­\(\begin{array}{l}S'(x) = \frac{{ - \pi  - 4}}{4}x + 5\\S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{20}}{{\pi  + 4}}\end{array}\)

Ta có: \(S(0) = 0;S\left( {\frac{{20}}{{\pi  + 4}}} \right) \approx 7;S(10) =  - 12,5\pi \)

Vậy \({x_{{\rm{max}}}} = \frac{{20}}{{\pi  + 4}} \approx 2,8(m),y \approx 1,4(m)\).

Đề bài

Người ta muốn kéo một đường dây điện tử nhà máy điện đặt tại điểm A đến một hòn đảo nhỏ C. Biết rằng nhà máy điện nằm sát bờ biển, bờ biển được coi là thẳng, khoảng cách CB từ hòn đảo C đến bờ biển là 1 km, khoảng cách giữa hai điểm A và B là 4 km. Mỗi kilômét dây nếu đặt ngầm dưới nước sẽ mất 5 000 USD, còn nếu đặt ngầm dưới đất sẽ mất 3 000 USD. Người ta dự định kéo dây điện ngầm dưới đất từ điểm A đến một điểm S trên bờ biển, nằm giữa A và B, sau đó chạy ngầm dưới nước từ điểm S đến hòn đảo C (Hình 2.18). Tìm vị trí điểm S sao cho chi phí kéo đường dây là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Đặt \(BS = x{\rm{ }}(m)\)\((0 \le x \le 4)\). Khi đó, \(SA = 4 - x;CS = \sqrt {1 + {x^2}} \)

Khi đó, chi phí cần bỏ ra là: \(f(x) = 5{\rm{ }}000\sqrt {1 + {x^2}}  + 3{\rm{ }}000(4 - x)\), \(x \in \left[ {0;4} \right]\)

\(f'(x) = \frac{{5{\rm{ }}000x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} - 3{\rm{ }}000\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {1 + {x^2}}  = 5x \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\)

Ta có \(f(0) = 17{\rm{ }}000;f\left( {\frac{3}{4}} \right) = 16{\rm{ }}000;f(4) \approx 20{\rm{ }}616\). Ta thấy GTNN ứng với \(x = \frac{3}{4}\).

Vậy điểm S trên bờ biển cần tìm cách A một khoảng \(4 - \frac{3}{4} = \frac{{13}}{4}(km)\).

Đề bài

Một xe khách tuyến có sức chứa tối đa là 60 hành khách. Nếu chuyến xe chở x hành khách thì giá mỗi hành khách là \(50{\rm{ }}000{\left( {3 - \frac{x}{{40}}} \right)^2}\)(đồng). Xe có doanh thu cao nhất khi chở bao nhiêu hành khách, và doanh thu đó bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Số tiền khi chở x khách hàng là: \(f(x) = 50{\rm{ }}000x{\left( {3 - \frac{x}{{40}}} \right)^2} \)

\(= 450{\rm{ }}000x-7{\rm{ }}500{x^2} + 31,25{x^3}\), \(0 \le x \le 60\).

Ta có: \(f'(x) = 450000 - 15000x + 93,75{x^2}\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 120\,\,({\rm{L}})\\x = 40\,\,({\rm{TM}})\end{array} \right.\)

Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta có:

f(0) = 0; f(40) = 8 000 000; f(60) = 6 750 000.

Vì giá trị f(40) là giá trị lớn nhất trong ba giá trị trên, nên giá trị lớn nhất của f(x) đạt được khi x = 40.

Vậy xe có doanh thu cao nhất khi chở 40 hành khách và doanh thu đó bằng 8 000 000 đồng.

Đề bài

Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ với dung tích \(5{\rm{ }}l\). Giá sản xuất mặt xung quanh là 100 nghìn đồng/m², giá sản xuất mặt đáy là 120 nghìn đồng/m². Hỏi công ty có thể sản xuất được tối đa bao nhiêu thùng sơn (giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể)?

Lời giải chi tiết

Đổi: 5 lít = 5 \(d{m^3}\) = 0,005 \({m^3}\).

Gọi r (m) là bán kính của đáy thùng đựng sơn hình trụ, r > 0.

h (m) là chiều cao thùng sơn hình trụ, h > 0.

Ta có \({V_{tru}} = \pi {r^2}h \Leftrightarrow 0,005 = \pi {r^2}h \Leftrightarrow h = \frac{{0,005}}{{\pi {r^2}}}\) (m).

Diện tích xung quanh thùng sơn là: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi r.\frac{{0,005}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{0,01}}{r}\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích đáy thùng sơn là: \({S_{day}} = \pi {r^2}\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Giá sản xuất mặt xung quanh của một thùng sơn là:

\(100{S_{xq}} = 100.\frac{{0,01}}{r} = \frac{1}{r}\) (nghìn đồng).

Giá sản xuất mặt hai mặt đáy của một thùng sơn là:

\(120.2.\pi {r^2} = 240\pi {r^2}\) (nghìn đồng).

Chi phí sản xuất một thùng sơn là:

\(C(r) = \frac{1}{r} + 240\pi {r^2}\) (nghìn đồng).

Xét \(C'(r) =  - \frac{1}{{{r^2}}} + 480\pi r = 0 \Leftrightarrow 480\pi r = \frac{1}{{{r^2}}} \Leftrightarrow 480\pi {r^3} = 1 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{1}{{480\pi }}}}\).

Bảng biến thiên của hàm số C(r) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của C(r) là xấp xỉ 17,20105 nghìn đồng.

Ta có \(\frac{{1000000}}{{17,20105}} \approx 58135,98533\).

Vậy công ty có thể sản xuất được tối đa 58135 thùng sơn.

Đề bài

Giả sử \(C\left( x \right) = 18{\rm{ }}000 + 500x--1,6{x^2} + 0,004{x^3}\;\)(nghìn đồng) là hàm chi phí và \(p\left( x \right) = 1{\rm{ }}500--3x\) (nghìn đồng) là hàm cầu của \(x\) đơn vị một loại hàng hóa nào đó.

a) Tìm công thức của hàm lợi nhuận \(P\left( x \right)\), biết rằng hàm lợi nhuận bằng hiệu của hàm doanh thu và hàm chi phí.

b) Tìm mức sản xuất x để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Hàm doanh thu của x đơn vị hàng hóa là: \(R(x) = xp(x) = 1500x - 3{x^2}\)

Hàm lợi nhuận là:

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = R\left( x \right)--C\left( x \right) = 1{\rm{ }}500x--3{x^2}--(18{\rm{ }}000 + 500x--1,6{x^2} + 0,004{x^3})\\ = 1{\rm{ }}500x--3{x^2}--18{\rm{ }}000--500x + 1,6{x^2}--0,004{x^3}\\ = --0,004{x^3}--1,4{x^2} + 1{\rm{ }}000x--18{\rm{ }}000.\end{array}\)

b) Xét hàm lợi nhuận P(x) = – 0,004x³ – 1,4x² + 1 000x – 18 000 (nghìn đồng) với x ≥ 0.

Ta có P’(x) = –0,012x² – 2,8x + 1 000.

P’(x) = 0 ⟺ –0,012x² – 2,8x + 1 000 = 0 ⇔ x ≈ 194,69.

Ta có P(194) = 94 104,064 và P(195) = 94 105,5 nên P(194) < P(105).

Do số đơn vị hàng hóa phải là số nguyên dương nên để lợi nhuận lớn nhất thì mức sản xuất là x = 195 đơn vị hàng hóa.