Bài 5. Tiền tệ. Lãi suất

Trả lời câu hỏi trang 47 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Hãy kể tên các mệnh giá thường gặp của tờ tiền đồng Việt Nam.

Phương pháp giải:

Dựa vào hiểu biết thực tế.

Lời giải chi tiết:

1 000, 2 000, 5 000, 10 000, 20 000, 50 000, 100 000, 200 000, 500 000 (đơn vị: đồng).

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 49 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Xây dựng công thức lãi đơn.

Giả sử gửi một khoản tiền vốn P vào ngân hàng theo thể thức lãi đơn với lãi suất năm là r (r được cho dưới dạng số thập phân).

a) Tính số tiền lãi I nhận được sau t năm.

b) Số tiền nhận được sau t năm bao gồm số tiền vốn P ban đầu và số tiền lãi I. Hãy tính tổng số tiền A nhận được sau t năm.

Lời giải chi tiết:

a) Số tiền lãi nhận được sau t năm là: \(I = \left( {P.r} \right).t = Prt\).

b) Số tiền nhận được sau t năm (gồm số tiền vốn P và số tiền lãi I) là:

\(A = P + I = P + Prt = P\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}rt} \right)\).

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 49 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Anh Hưng cho một tổ chức tín dụng vay 50 triệu đồng trong thời hạn 6 tháng theo thể thức lãi đơn. Lãi suất năm của khoản cho vay này là bao nhiêu nếu số tiền anh Hưng nhận được sau 6 tháng là 52 triệu đồng.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lãi đơn.

Lời giải chi tiết:

Ta có: P = 50 (triệu đồng); \(t = \frac{6}{{12}} = 0,5\) (năm); A = 52 (triệu đồng).

Khi đó, áp dụng công thức lãi đơn A = P(1 + rt), ta có:

52 = 50 . (1 + r . 0,5), suy ra r = 0,08 = 8%.

Vậy lãi suất năm của khoản cho vay trên là 8%.

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 50 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Xây dựng công thức tính lãi kép.

Giả sử một khoản tiền vốn P vào ngân hàng theo thể thức lãi suất năm là r (r được cho dưới dạng số thập phân), được tính lãi n kì trong một năm.

a) Tính lãi suất của mỗi kì.

b) Tính số tiền nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 kì, sau 2 kì.

c) Dự đoán công thức tính số tiền nhận được sau N kì gửi.

Lời giải chi tiết:

a) Lãi suất của mỗi kì là: \(\frac{r}{n}\) .

b) Số tiền nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 kì là: \({A_1} = P.\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)\).

Số tiền nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau 2 kì là: \({A_2} = {A_1} \cdot \left( {1 + \frac{r}{n}} \right) = P{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^2}\).

c) Dự đoán công thức tính số tiền nhận được sau N kì gửi là: \({A_n} = P{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^N}\).

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 51 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Trở lại Ví dụ 2, hãy tính số tiền nhận được và số tiền lãi tương ứng sau 3 năm gửi tiết kiệm nếu việc tính lãi diễn ra hằng ngày (giả sử một năm có 365 ngày).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lãi kép.

Lời giải chi tiết:

P = 100 (triệu đồng); t = 3 năm; n=365; r = 9% = 0,09.

Sau 3 năm, số tiền nhận được là:

\({A_n} = P{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^N} = 100{\left( {1 + \frac{{0,09}}{{365}}} \right)^{^{365.3}}} \approx 130,992\)(triệu đồng).

Số tiền lãi là: 130,992 – 100=30,992 (triệu đồng).

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 51 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Giải quyết bài toán trong Tình huống mở đầu.

Bác An có 500 triệu đồng muốn gửi vào ngân hàng trong thời hạn 9 tháng để lấy lãi. Bác đang phân vân giữa hai phương án như sau:

– Phương án 1: Tiền gửi tính theo lãi đơn, với lãi suất năm là 6,1%;

– Phương án 2: Tiền gửi tính theo lãi kép kì hạn 1 tháng, với lãi suất năm là 6%.

Hình thức gửi tiền nào có lợi hơn cho bác An?

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lãi đơn và lãi kép sau đó so sánh số tiền lãi được ở 2 hình thức.

Lời giải chi tiết:

P = 500 (triệu đồng); \(t = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}\)(năm)

– Phương án 1: \({r_1}\; = 6,1\%  = 0,061\)

Số tiền bác An nhận được vào cuối kì gửi là:

\({A_1} = P\left( {1 + {r_1}t} \right) = 500 \cdot \left( {1 + 0,061 \cdot \frac{3}{4}} \right) = 522,875\) (triệu đồng)

– Phương án 2: r₂ = 6% = 0,06; n = 9.

Số tiền cả gốc lẫn lãi bác An nhận được là:

\({A_2} = P{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{nt}} = 500{\left( {1 + \frac{{0,06}}{{12}}} \right)^{12.\frac{3}{4}}} \approx 522,955\)(triệu đồng)

Ta thấy 522,875 < 522,955 nên hình thức gửi tiền ở phương án 2 có lợi hơn cho bác An.

Vậy bác An nên chọn Phương án 2 thì có lợi hơn.

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Giả sử tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm là 4%. Sử dụng công thức tính sức mua ở Ví dụ 4, hãy cho biết mất bao nhiêu năm thì sức mua giảm xuống chỉ còn một nửa.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính ở ví dụ 3.

Lời giải chi tiết:

Gọi P là số tiền ban đầu. Do sức mua giảm xuống chỉ còn một nửa tức \(A = \frac{P}{2}\)với \(g = 4\%  = 0,04\).

Thay số vào công thức ở VD4 ta có: \(\frac{1}{2} = {(1 - 0,04)^n} = {0,96^n} \Rightarrow n = {\log _{0,96}}\frac{1}{2} \approx 17\).

Vậy sau khoảng 17 năm, sức mua sẽ giảm xuống chỉ còn một nửa.

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Thực hiện các yêu cầu như trong Ví dụ 5, nếu tỉ lệ lạm phát của nền kinh tế năm đó là 7%.

Lời giải chi tiết:

Ta có P = 500 (triệu đồng); r = 9% = 0,09; g = 7% = 0,07.

a) Lãi suất thực cho khoản gửi tiết kiệm của anh Nam là:

r_thực \(=\frac{r-g}{1+g}=\frac{0,09-0,07}{1+0,07}\approx 0,019\)

Vậy thu nhập thực của anh Nam là: 500.0,019 = 9,5 (triệu đồng).

b) Lãi suất thực sau thuế khi chưa tính lạm phát là:

r_{sau thuế}  = 9%(100% - 10%) = 8,1% = 0,081.

Do đó thu nhập thực sau khi tính thuế của anh Nam là:

\(500.\frac{0,081-0,07}{1+0,07}\approx 5,14\) (triệu đồng) 

Đề bài

Tìm lãi suất đơn (tính theo năm), biết số tiền vốn ban đầu là 900 triệu đồng và số tiền lãi thu được trong thời hạn 6 tháng là 54 triệu đồng.

Lời giải chi tiết

Ta có P = 900 (triệu đồng); I = 54 (triệu đồng); \(t = \frac{6}{{12}} = 0,5\) (năm).

Áp dụng công thức lãi đơn I = Prt, ta có:

\(54\; = \;900\;.\;r\;.\;0,5\).

Suy ra \(r\; = \;0,12\; = \;12\% .\)

Vậy lãi suất đơn là 12% một năm.

Đề bài

Tìm thời gian gửi t (tính theo ngày), để 100 triệu đồng tích lũy được tích lũy được thành 105 triệu đồng với lãi suất đơn là 11% một năm. Ở đây một năm tài chính được lấy là 365 ngày.

Lời giải chi tiết

Ta có P = 100 (triệu đồng); A = 105 (triệu đồng); r = 11% = 0,11.

Thay vào công thức lãi đơn \(A\; = \;P\left( {1\; + \;rt} \right)\), ta có: \(105\; = \;100\;.\;\left( {1\; + \;0,11t} \right)\).

Suy ra \(t = \frac{5}{{11}}\) (năm) ≈ 165,9 ngày.

Vậy sau 166 ngày thì 100 triệu đồng tích lũy được thành 105 triệu đồng với lãi suất đơn là 11% một năm.

Đề bài

Ngân hàng A đấu giá lô trái phiếu Chính phủ có mệnh giá 100 tỉ đồng, thời hạn 9 tháng với  mức giá sẵn lòng trả là 96 tỉ đồng. Giả sử cuộc đấu giá thành công như mong muốn thì ngân hàng A sẽ được hưởng lãi suất bao nhiêu, nếu tính được theo hình thức lãi suất đơn.

Lời giải chi tiết

Ta có P = 96 (tỉ đồng); A = 100 (tỉ đồng); \(t = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}\) (năm).

Thay vào công thức lãi đơn A = P(1 + rt), ta có: \(100 = 96\left( {1 + r.\frac{3}{4}} \right)\).

Suy ra r ≈ 0,056 = 5,6%.

Vậy ngân hàng A sẽ được hưởng lãi suất là 5,6% một năm.

Đề bài

Tính số tiền A thu được sau 5 năm nếu số tiền 200 triệu đồng được gửi ngân hàng với lãi suất 9% một năm theo thể mức:

a) Tính lãi kép hằng năm.

b) Tính lãi kép hàng quý.

Lời giải chi tiết

Ta có P = 200 (triệu đồng); t = 5 năm; r = 9% = 0,09.

a) Khi tính lãi kép hằng năm thì n = 1.

Do đó số tiền nhận được là:

\(A = P{\left( {1 + r} \right)^t} = 200{\left( {1 + 0,09} \right)^5}\; \approx 307,725\) (triệu đồng).

Số tiền lãi nhận được là: 307,725 – 200 = 107,725 (triệu đồng).

b) Khi tính lãi kép hằng quý thì n = 4.

Do đó số tiền nhận được là:\(A = P{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{nt}} = 200 \cdot {\left( {1 + \frac{{0,09}}{4}} \right)^{4 \cdot 5}} \approx 312,102\).

Số tiền lãi nhận được là: 312,102 – 200 = 112,102 (triệu đồng).

Đề bài

Giả sử tỉ lệ lạm phát của nền kinh tế là 3,5%/năm.

a) Với tỉ lệ lạm phát này, sức mua của 10 triệu đồng ở hiện tại là bao nhiêu sau 1 năm nữa?

b) Một người gửi tiết kiệm 600 triệu đồng kì hạn 12 tháng với lãi suất năm là 8%. Hỏi thu nhập thực của người đó khi rút sổ tiết kiệm sau 1 năm nữa, tức là tiền lãi gửi tiết kiệm sau khi tính theo lãi suất thực đã tính đến yếu tố lạm phát, là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(P = 10\)(triệu đồng); g = 3,5% = 0,035, \(n = 1\) (năm).

Sức mua của 10 triệu đồng sau 1 năm nữa là:

\(A = P{(1 - g)^n} = 10{\left( {1--0,035} \right)^1}\; = 9,65\) (triệu đồng).

b) Lãi suất thực cho khoản gửi tiết kiệm của người đó là:

\({r_{thuc}}\;\; = \frac{{r - g}}{{1 + g}} = \frac{{0,08 - 0,035}}{{1 + 0,035}} \approx 0,043\).

Vậy thu nhập thực của khoản gửi tiết kiệm đó là:

\(I = 600\left( {1 + {r_{thuc}}} \right) - 600 = 600.{r_{thuc}} = 600.0,043 = 25,8\)(triệu đồng).

Đề bài

Chỉ số giá tiêu dùng (CPI) cho biết sự thay đổi tương đối về giá theo thời gian của một giỏ hàng hóa và dịch vụ cố định. Nó là một chỉ số giá sinh hoạt giúp đo lường ảnh hưởng của lạm phát đến chi phí hàng hóa và dịch vụ. Nếu lấy chỉ số CPI của kì gốc 2014 để so sánh (coi CPI cho năm nay là 100) thì chỉ số CPI tháng 1 năm 2020 là 118,09 (Theo Tổng cục thống kê). Điều này có nghĩa là 100 nghìn đồng trong năm 2014 có sức mua tương đương với 118,09 nghìn đồng vào tháng 1 năm 2020. Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là g mỗi năm (g cho dưới dạng số thập phân) trong n năm, thì chỉ số CPI sau n năm là

\(CPI = CP{I_0}{\left( {1 + g} \right)^n}\)

ở đó \(CP{I_0}\) và CPI đầu của chu kì n năm.

a) Chỉ số CPI là 100 vào tháng 1 năm 2014 và 118,09 vào tháng 1 năm 2020. Giả sử rằng tỉ lệ lạm phát hằng năm không đổi trong khoảng thời gian này, hãy xác định tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm trong giai đoạn này.

b) Sử dụng tỉ lệ lạm phát tính được từ câu a, CPI sẽ đạt mức 115 vào năm nào?

c) Nếu CPI tháng 1 năm 2020 là 118,09 và tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm là 3,21% thì CPI vào tháng 1 năm 2030 sẽ là bao nhiêu?

d) Nếu tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm là 3%, thì sẽ mất bao lâu để chỉ số giá tiêu dùng tăng gấp đôi?

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(CP{I_0} = 100;\;CPI = 118,09;n = 6\).

Khi đó,  áp dụng công thức \(CPI = CP{I_0}{\left( {1 + g} \right)^n},\;\)ta có:

\(118,09 = 100{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}g} \right)^6} \Rightarrow g \approx 0,028 = 2,8\% \)

Vậy tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm trong giai đoạn này là 2,8%.

a) Ta có \(CP{I_0} = 100;\;CPI = 115;n = 6\).

Khi đó,  áp dụng công thức \(CPI = CP{I_0}{\left( {1 + g} \right)^n},\;\)ta có:

\(115=100{{\left( 1+0,028 \right)}^{n}}\Rightarrow n\approx 5,06\)

Mà n là số tự nhiên nên ta lấy n = 6.

Vậy CPI sẽ đạt mức 115 vào năm 2014 + 6 = 2020.

c) Ta có \(CP{I_0} = 118,09;\;g = 3,21\%  = 0,0321;n = 10.\)

Khi đó, áp dụng công thức \(CPI = CP{I_0}{\left( {1 + g} \right)^n},\;\)ta có CPI vào tháng 1 năm 2030 là:

\(CPI = 118,09{\left( {1{\rm{ }} + 0,0321} \right)^{10}} \approx 161,97.\)

y CPI vào tháng 1 năm 2030 là 161,97.

d) Ta có \(CPI\; = \;2CP{I_0};\;g = 0,03.\)

Khi đó,  áp dụng công thức \(CPI = CP{I_0}{\left( {1 + g} \right)^n},\;\). ta có :

\(2CP{I_0}\; = CP{I_0}{\left( {1 + 0,03} \right)^n} \Leftrightarrow 2 = {1,03^n} \Leftrightarrow n \approx 23,45.\)

Vậy nếu tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm là 3%, thì sau khoảng 24 năm thì chỉ số giá tiêu dùng tăng gấp đôi.