Bài 7. Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Đề bài

Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) \(81\);

b) \(\frac{{16}}{{625}}\);

c) 0,0121;

d) 6 400.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(\sqrt {81}  = 9\).

Số 81 có hai căn bậc hai là 9 và -9.

b) Vì \(\sqrt {\frac{{16}}{{625}}}  = \frac{4}{{25}}\).

Số \(\frac{{16}}{{625}}\) có hai căn bậc hai là \(\frac{4}{{25}}\) và \( - \frac{4}{{25}}\).

c) Vì \(\sqrt {0,0121}  = 0,11\).

Số 0,0121 có hai căn bậc hai là 0,11 và -0,11.

d) Vì \(\sqrt {6400}  = 80\).

Số 6400 có hai căn bậc hai là 80 và -80.

Đề bài

Sử dụng MTCT tính:

a) \(\sqrt {17} \) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba);

b) Các căn bậc hai của 4 021 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm);

c) Giá trị biểu thức \(\frac{{ - 11 + \sqrt {{{11}^2} - 4.3.2} }}{{2.3}}\) (làm tròn kết quả với độ chính xác 0,005).

Lời giải chi tiết

a) Sử dụng MTCT ta tính được \(\sqrt {17}  = 4,123105626\).

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba ta được \(\sqrt {17}  \approx 4,123\).

b) Sử dụng MTCT ta tính được \(\sqrt {4\;021}  = 63,41135545\).

Làm tròn đến hàng phần trăm ta được \(\sqrt {4\;021}  \approx 63,41\).

c) Sử dụng MTCT ta tính được \(\frac{{ - 11 + \sqrt {{{11}^2} - 4.3.2} }}{{2.3}} =  - 0,191857033\).

Làm tròn kết quả với độ chính xác 0,005 ta được \(\frac{{ - 11 + \sqrt {{{11}^2} - 4.3.2} }}{{2.3}} \approx  - 0,19\).

Đề bài

a) \({\left( {\sqrt {4,1} } \right)^2} - {\left( { - \sqrt {6,1} } \right)^2}\);

b) \({\left( {\sqrt {101} } \right)^2} - \sqrt {{{\left( { - 99} \right)}^2}} \);

c) \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 2\sqrt 2 } \right)}^2}}  - \left( { - \sqrt 3  + 2\sqrt 2 } \right)\);

d) \(\sqrt {{{\left( {\sqrt {10}  + 3} \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt {10}  - 3} \right)}^2}} \).

Lời giải chi tiết

a) \({\left( {\sqrt {4,1} } \right)^2} - {\left( { - \sqrt {6,1} } \right)^2} = 4,1 - 6,1 =  - 2\);

b) \({\left( {\sqrt {101} } \right)^2} - \sqrt {{{\left( { - 99} \right)}^2}}  = 101 - 99 = 2\);

c) \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 2\sqrt 2 } \right)}^2}}  - \left( { - \sqrt 3  + 2\sqrt 2 } \right) \)

\(= \left| {\sqrt 3  + 2\sqrt 2 } \right| + \sqrt 3  - 2\sqrt 2  \)

\(= \sqrt 3  + 2\sqrt 2  + \sqrt 3  - 2\sqrt 2 \)

\(= \left( {\sqrt 3  + \sqrt 3 } \right) + \left( {2\sqrt 2  - 2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 3 \)

d) \(\sqrt {{{\left( {\sqrt {10}  + 3} \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt {10}  - 3} \right)}^2}} \)

\(= \left| {\sqrt {10}  + 3} \right| - \left| {\sqrt {10}  - 3} \right| \)

\(= \sqrt {10}  + 3 - \sqrt {10}  + 3 = 6\).

Đề bài

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ hiệu hai bình phương và bình phương của một hiệu, rút gọn:

a) \(\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)\);

b) \(\sqrt {2 - 2\sqrt 2  + 1} \).

Lời giải chi tiết

a) \(\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right) \)

\(= {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 3 - 2 = 1\);

b) \(\sqrt {2 - 2\sqrt 2  + 1}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}} \)

\(= \left| {\sqrt 2  - 1} \right| = \sqrt 2  - 1\).

Đề bài

Khi giải phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) (a, b, c là ba số thực đã cho, \(a \ne 0\)), ta phải tính giá trị của căn thức bậc hai \(\sqrt {{b^2} - 4ac} \). Hãy tính giá trị của căn thức này với các phương trình sau:

a) \({x^2} + 5x + 6 = 0\);

b) \(4{x^2} - 5x - 6 = 0\);

c) \( - 3{x^2} - 2x + 33 = 0\).

Lời giải chi tiết

a) Với \({x^2} + 5x + 6 = 0\) ta có \(a = 1,b = 5,c = 6\).

Do đó, \(\sqrt {{b^2} - 4ac}  = \sqrt {{5^2} - 4.1.6}  = \sqrt 1  = 1\).

b) Với \(4{x^2} - 5x - 6 = 0\) ta có \(a = 4,b =  - 5,c =  - 6\).

Do đó, \(\sqrt {{b^2} - 4ac}  = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} - 4.4.\left( { - 6} \right)}  = \sqrt {121}  = 11\).

c) Với \( - 3{x^2} - 2x + 33 = 0\) ta có \(a =  - 3,b =  - 2,c = 33\).

Do đó, \(\sqrt {{b^2} - 4ac}  = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 4.\left( { - 3} \right).33}  = \sqrt {400}  = 20\).

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\sqrt {49{x^4}}  - 3{x^2}\);

b) \(\sqrt {{a^6}{{\left( {a - b} \right)}^2}} :\left( {a - b} \right)\) với \(a < b < 0\).

Lời giải chi tiết

a) \(\sqrt {49{x^4}}  - 3{x^2} = \sqrt {{{\left( {7{x^2}} \right)}^2}}  - 3{x^2}\)

\(= 7{x^2} - 3{x^2} = 4{x^2}\);

b) \(\sqrt {{a^6}{{\left( {a - b} \right)}^2}} :\left( {a - b} \right) \)

\(= \sqrt {{{\left[ {{a^3}\left( {a - b} \right)} \right]}^2}} :\left( {a - b} \right) \)

\(= \left| {{a^3}\left( {a - b} \right)} \right|:\left( {a - b} \right)\)

\( = {a^3}\left( {a - b} \right):\left( {a - b} \right) = {a^3}\) (do \(\left| {{a^3}\left( {a - b} \right)} \right| = {a^3}\left( {a - b} \right)\) vì với \(a < b < 0\) thì \({a^3} < 0,a - b < 0\))

Đề bài

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức \(\sqrt {25{{\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)}^2}} \) tại \(x = \sqrt 3 \).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\sqrt {25{{\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {25{{\left( {2x - 1} \right)}^4}}  \\= \sqrt {{{\left[ {5{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} \right]}^2}}  = \left| {5{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} \right| = 5{\left( {2x - 1} \right)^2}\)

Với \(x = \sqrt 3 \) ta có: \(5{\left( {2x - 1} \right)^2} = 5{\left( {2\sqrt 3  - 1} \right)^2}\)