Bài 8. Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Đề bài

So sánh:

a) \(\sqrt 5 .\sqrt {11} \) và \(\sqrt {56} \);

b) \(\frac{{\sqrt {141} }}{{\sqrt 3 }}\) và 7.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\sqrt 5 .\sqrt {11}  = \sqrt {5.11}  = \sqrt {55} \).

Vì \(\sqrt {55}  < \sqrt {56} \) nên \(\sqrt 5 .\sqrt {11}  < \sqrt {56} \).

b) Ta có: \(\frac{{\sqrt {141} }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {\frac{{141}}{3}}  = \sqrt {47} ,7 = \sqrt {49} \).

Vì \(\sqrt {47}  < \sqrt {49} \) nên \(\frac{{\sqrt {141} }}{{\sqrt 3 }} < 7\).

Đề bài

Không dùng MTCT, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(\sqrt {1\frac{2}{3}} :\sqrt {\frac{1}{{15}}} \);

b) \(\sqrt {4,9} .\sqrt {1\;000} \).

Lời giải chi tiết

a) \(\sqrt {1\frac{2}{3}} :\sqrt {\frac{1}{{15}}}  = \sqrt {\frac{5}{3}:\frac{1}{{15}}}  = \sqrt {\frac{5}{3}.3.5}  = \sqrt {{5^2}}  = 5\);

b) \(\sqrt {4,9} .\sqrt {1\;000}  = \sqrt {4,9.1\;000}\)

\(= \sqrt {4\;900}  = \sqrt {{{70}^2}}  = 70\).

Đề bài

Không dùng MTCT, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên:

a) \(\sqrt {8 + \sqrt {15} } .\sqrt {8 - \sqrt {15} } \);

b) \({\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} }  + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\sqrt {8 + \sqrt {15} } .\sqrt {8 - \sqrt {15} } \)

\(= \sqrt {\left( {8 + \sqrt {15} } \right)\left( {8 - \sqrt {15} } \right)}  \)

\(= \sqrt {{8^2} - {{\left( {\sqrt {15} } \right)}^2}}  \)

\(= \sqrt {49}  = \sqrt {{7^2}}  = 7\)

Vậy biểu thức \(\sqrt {8 + \sqrt {15} } .\sqrt {8 - \sqrt {15} } \) có giá trị là số nguyên.

b) \({\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} }  + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2} \)

\(= {\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } } \right)^2} + 2\sqrt {6 - \sqrt {11} } .\sqrt {6 + \sqrt {11} }  + {\left( {\sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}\)

\( = 6 - \sqrt {11}  + 2\sqrt {\left( {6 - \sqrt {11} } \right)\left( {6 + \sqrt {11} } \right)}  + 6 + \sqrt {11}  \)

\(= 12 + 2\sqrt {{6^2} - {{\left( {\sqrt {11} } \right)}^2}}  \)

\(= 12 + 2\sqrt {25}  = 12 + 10 = 22\)

Vậy biểu thức \({\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} }  + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}\) có giá trị là số nguyên.

Đề bài

Không dùng MTCT, tính giá trị của biểu thức sau: \(P = \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } .\sqrt {2 - \sqrt {2 + \sqrt 2 } } .\sqrt {4 + \sqrt 8 } \).

Lời giải chi tiết

\(P = \sqrt {\left( {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } \right)\left( {2 - \sqrt {2 + \sqrt 2 } } \right)} .\sqrt {4 + \sqrt 8 } \\ = \sqrt {4 - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} .\sqrt {4 + 2\sqrt 2 }  \\= \sqrt {2 - \sqrt 2 } .\sqrt {2\left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \\= \sqrt {2\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}  \\= \sqrt {2\left[ {{2^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \right]}  = \sqrt 4  = 2\)

Đề bài

Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{3\sqrt {10}  + \sqrt {20}  - 3\sqrt 6  - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}\).

Lời giải chi tiết

\(P = \frac{{3\sqrt {10}  + \sqrt {20}  - 3\sqrt 6  - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }} \\= \frac{{3\sqrt 2 .\sqrt 5  + 2\sqrt 5  - 3\sqrt 2 .\sqrt 3  - 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}\\= \frac{{3\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right) + 2\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }} \\= \frac{{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)\left( {3\sqrt 2  + 2} \right)}}{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }} = 3\sqrt 2  + 2\)

Đề bài

So sánh \(\sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } } \) và \(\sqrt {\sqrt 6  + 1} \).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } }  = \sqrt {\sqrt {5 + 2.\sqrt 5 .1 + 1} }  \\= \sqrt {\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^2}} }  = \sqrt {\sqrt 5  + 1} \)

Vì \(\sqrt {\sqrt 5  + 1}  < \sqrt {\sqrt 6  + 1} \) nên \(\sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } }  < \sqrt {\sqrt 6  + 1} \)

Đề bài

Cho a, b là hai số dương khác nhau thỏa mãn điều kiện \(a - b = \sqrt {1 - {b^2}}  - \sqrt {1 - {a^2}} \). Chứng minh rằng \({a^2} + {b^2} = 1\).

Lời giải chi tiết

Điều kiện: \(0 < a,b \le 1,a \ne b\)

Ta có:

\(a - b = \sqrt {1 - {b^2}}  - \sqrt {1 - {a^2}} \)

\(a + \sqrt {1 - {a^2}}  = \sqrt {1 - {b^2}}  + b\)

\({\left( {a + \sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {1 - {b^2}}  + b} \right)^2}\)

\({a^2} + 2a\sqrt {1 - {a^2}}  + 1 - {a^2} = {b^2} + 2b\sqrt {1 - {b^2}}  + 1 - {b^2}\)

\(a\sqrt {1 - {a^2}}  = b\sqrt {1 - {b^2}} \)

\({\left( {a\sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} = {\left( {b\sqrt {1 - {b^2}} } \right)^2}\)

\({a^2} - {a^4} = {b^2} - {b^4}\)

\({a^4} - {b^4} + {b^2} - {a^2} = 0\)

\(\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - \left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 0\)

\(\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - 1} \right) = 0\)

\({a^2} + {b^2} - 1 = 0\) (do \(a \ne b\) nên \({a^2} - {b^2} \ne 0\)) hay \({a^2} + {b^2} = 1\).