Bài tập cuối chương III

Trả lời câu hỏi Câu 1 trang 39 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Mọi số thực đều có căn bậc hai.

B. Mọi số thực âm không có căn bậc ba.

C. Mọi số thực đều có căn bậc hai số học.

D. Các số thực dương có hai căn bậc hai đối nhau.

Phương pháp giải:

Các số thực dương có hai căn bậc hai đối nhau.

Lời giải chi tiết:

Các số thực dương có hai căn bậc hai đối nhau.

Chọn D

Trả lời câu hỏi Câu 2 trang 39 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Mọi số thực dương đều có căn bậc hai.

B. Số -216 không có căn bậc ba.

C. Số -216 không có căn bậc hai.

D. Số -216 không có căn bậc hai số học.

Phương pháp giải:

Vì \({\left( { - 6} \right)^3} =  - 216\) nên số -216 có căn bậc ba là -6

Lời giải chi tiết:

Vì \({\left( { - 6} \right)^3} =  - 216\) nên số -216 có căn bậc ba là -6. Do đó, đáp án B sai

Chọn B

Trả lời câu hỏi Câu 3 trang 39 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Cho biết \({3,1^2} = 9,61\). Số nào sau đây là giá trị của \(\sqrt {0,000961} \)?

A. 3,1.

B. 0,31.

C. 0,031.

D. 0,000031.

Phương pháp giải:

\(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\) với mọi biểu thức A.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sqrt {0,000961}  = \sqrt {\frac{{9,61}}{{10\;000}}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{3,1}}{{100}}} \right)}^2}}  = 0,031\)

Chọn C

Trả lời câu hỏi Câu 4 trang 39 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Biểu thức nào sau đây có giá trị khác với các biểu thức còn lại?

A. \(\sqrt {{7^2}} \).

B. \(\sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2}} \).

C. \({\left( { - \sqrt 7 } \right)^2}\).

D. \( - {\left( {\sqrt 7 } \right)^2}\).

Phương pháp giải:

\(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\) với mọi biểu thức A.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sqrt {{7^2}}  = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2}}  = {\left( { - \sqrt 7 } \right)^2} = 7 \ne  - 7 =  - {\left( {\sqrt 7 } \right)^2}\)

Chọn D

Trả lời câu hỏi Câu 5 trang 40 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Độ dài cạnh khối lập phương có thể tích bằng \(0,512d{m^3}\) là

A. 8cm.

B. 8dm.

C. 0,8cm.

D. 0,08dm.

Phương pháp giải:

Hình lập phương có thể tích là V thì độ dài cạnh của hình lập phương là: \(x = \sqrt[3]{V}\).

Lời giải chi tiết:

Độ dài cạnh của khối lập phương là: \(\sqrt[3]{{0,512}} = \sqrt[3]{{{{0,8}^3}}} = 0,8\left( {dm} \right) = 8cm\)

Chọn A

Đề bài

Thực hiện phép tính:

a) \(\sqrt {12 - \sqrt {23} } .\sqrt {12 + \sqrt {23} } \);

b) \({\left( {\sqrt {9 - \sqrt {17} }  + \sqrt {9 + \sqrt {17} } } \right)^2}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\sqrt {12 - \sqrt {23} } .\sqrt {12 + \sqrt {23} } \)

\(= \sqrt {\left( {12 - \sqrt {23} } \right)\left( {12 + \sqrt {23} } \right)}  \\= \sqrt {{{12}^2} - {{\left( {\sqrt {23} } \right)}^2}} \\ = \sqrt {144 - 23}  = \sqrt {121}  = \sqrt {{{11}^2}}  = 11;\)

b) \({\left( {\sqrt {9 - \sqrt {17} }  + \sqrt {9 + \sqrt {17} } } \right)^2} \)

\(= 9 - \sqrt {17}  + 2\sqrt {9 - \sqrt {17} } .\sqrt {9 + \sqrt {17} }  + 9 + \sqrt {17} \\ = 18 + 2\sqrt {\left( {9 - \sqrt {17} } \right)\left( {9 + \sqrt {17} } \right)}  \\= 18 + 2\sqrt {{9^2} - {{\left( {\sqrt {17} } \right)}^2}} \\ = 18 + 2\sqrt {64}  = 18 + 2\sqrt {{8^2}}  = 18 + 16 = 34\)

Đề bài

So sánh \(\sqrt {\sqrt {89 + 24\sqrt 5 } } \) và \(\sqrt {1 + \sqrt {122} } \).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\sqrt {\sqrt {89 + 24\sqrt 5 } } \\ = \sqrt {\sqrt {{{\left( {4\sqrt 5 } \right)}^2} + 2.4\sqrt 5 .3 + {3^2}} } \\ = \sqrt {\sqrt {{{\left( {4\sqrt 5  + 3} \right)}^2}} } \\ = \sqrt {4\sqrt 5  + 3} \)

\( = \sqrt {3 + \sqrt {80} }  < \sqrt {3 + 9} = \sqrt {12}\)

Mà \(\sqrt {12}= \sqrt {1+ 11 } = \sqrt {1+ \sqrt {121} }  < \sqrt {1 + \sqrt {122} }. \)

Vậy \(\sqrt {\sqrt {89 + 24\sqrt 5 } }  < \sqrt {1 + \sqrt {122} } \)

Đề bài

a) Chứng minh rằng \(\sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {3 - \sqrt 5 }  = 2\) và \(\sqrt {3 + \sqrt 5 }  + \sqrt {3 - \sqrt 5 }  = \sqrt {10} \).

b) Rút gọn các biểu thức sau:

\(A = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^3} + {\left( {\sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^3}\);

\(B = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^5} + {\left( {\sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^5}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

+) \(\sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {3 - \sqrt 5 } \)

\( = \sqrt {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} \\ = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \\ = \sqrt 4  = 2\)

+) \({\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 }  + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} \)

\(= 3 + \sqrt 5  + 2\sqrt {3 + \sqrt 5 } \sqrt {3 - \sqrt 5 }  + 3 - \sqrt 5 \\ = 6 + 2.2 = 10\)

Do đó, \(\sqrt {3 + \sqrt 5 }  + \sqrt {3 - \sqrt 5 }  = \sqrt {10} \).

b) Đặt \(a = \sqrt {3 + \sqrt 5 } ,b = \sqrt {3 - \sqrt 5 } \).

Theo a ta có: \(ab = 2,a + b = \sqrt {10} \)

Ta có:

\({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) \\= {\left( {\sqrt {10} } \right)^3} - 3.2\sqrt {10}  \\= 10\sqrt {10}  - 6\sqrt {10} \\ = 4\sqrt {10} \)

Vậy \(A = 4\sqrt {10} \)

\(B = {a^5} + {b^5} \\= \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^3} + {b^3}} \right) - {a^2}{b^3} - {a^3}{b^2} \\ = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab} \right]A - {\left( {ab} \right)^2}\left( {a + b} \right)\\ = \left[ {{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2} - 2.2} \right].4\sqrt {10}  - {2^2}.\sqrt {10}  \\= 20\sqrt {10} \)

Đề bài

Cho x, y là hai số dương thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = 1\). Tính giá trị biểu thức \(A = x - y + \sqrt {1 - {x^2}}  - \sqrt {1 - {y^2}} \).

Lời giải chi tiết

Vì \({x^2} + {y^2} = 1\) nên \(1 - {y^2} = {x^2},1 - {x^2} = {y^2}\).

Do đó, \(A = x - y + \sqrt {{y^2}}  - \sqrt {{x^2}}  = x - y + y - x = 0\) (do \(x,y > 0\))

Đề bài

a) Khai triển \({\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}\) và \({\left( {2\sqrt 3  - 3} \right)^2}\) thành những biểu thức không còn bình phương.

b) Sử dụng kết quả câu a, rút gọn các biểu thức sau:

\(A = \sqrt {4 - 2\sqrt 3  - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } } \);

\(B = \sqrt {2 + \sqrt 3  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3  - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } } } \).

Lời giải chi tiết

a) \({\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} = {2^2} - 2.2\sqrt 3  + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 7 - 4\sqrt 3 \);

\({\left( {2\sqrt 3  - 3} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} - 2.2\sqrt 3 .3 + {3^2} = 21 - 12\sqrt 3 .\)

b) Theo a ta có:

\(\sqrt {21 - 12\sqrt 3 }  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3  - 3} \right)}^2}} \\= \left| {2\sqrt 3  - 3} \right| = 2\sqrt 3  - 3\)

Do đó, \(A = \sqrt {4 - 2\sqrt 3  - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } }  \)

\(= \sqrt {4 - 2\sqrt 3  - 2\sqrt 3  + 3}  = \sqrt {7 - 4\sqrt 3 }  \\= \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| = 2 - \sqrt 3 \)

\(B = \sqrt {2 + \sqrt 3  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3  - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } } } \\ = \sqrt {2 + \sqrt 3  + A}  = \sqrt {2 + \sqrt 3  + 2 - \sqrt 3 }  \\= \sqrt 4  = 2\)