Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Hãy tính cosC theo hai cách và suy ra \(A{C^2} = BC.HC\).

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC vuông tại A nên \(\cos C = \frac{{AC}}{{BC}}\).

Tam giác AHC vuông tại H nên \(\cos C = \frac{{HC}}{{AC}}\).

Do đó, \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) nên \(A{C^2} = BC.HC\).

Đề bài

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A. Tính \(\tan \widehat {ABH}\) và \(\tan \widehat {CAH}\), suy ra \(A{H^2} = BH.CH\).

Lời giải chi tiết

Tam giác AHC vuông tại H nên \(\tan \widehat {CAH} = \frac{{HC}}{{AH}}\), \(\tan \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{HC}}\)

Tam giác AHB vuông tại H nên \(\tan \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{BH}}\).

Hai góc ABH và ACH là hai góc phụ nhau nên \(\tan \widehat {ABH} = \cot \widehat {ACH} = \frac{1}{{\tan \widehat {ACH}}}\).

Do đó \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{HC}}{{AH}}\).

Suy ra \(A{H^2} = BH.CH\).

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).

(HD: ta có \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}},\sin C = \frac{{AH}}{{AC}},\cos B = \sin C\) và áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) với mọi góc nhọn \(\alpha \)).

Lời giải chi tiết

Tam giác ABH vuông tại H nên \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\),

do đó, \(\frac{1}{{AB}} = \frac{{\sin B}}{{AH}}\),

suy ra \(\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}}\).

Tam giác AHC vuông tại H nên \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\),

do đó \(\frac{1}{{AC}} = \frac{{\sin C}}{{AH}}\),

suy ra \(\frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}C}}{{A{H^2}}}\).

Vì B và C là hai góc phụ nhau nên \(\cos B = \sin C\), suy ra \({\cos ^2}B = {\sin ^2}C\).

Ta có:

\(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}C}}{{A{H^2}}} + \frac{{{{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}} = \frac{{{{\cos }^2}B + {{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}\)

Đề bài

Cho tam giác ABC có \(BC = 11cm,\widehat {ABC} = {38^o},\widehat {ACB} = {30^o}\). Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Hãy tính AH.

Lời giải chi tiết

Vì hai góc B và C của tam giác ABC đều nhọn nên đường cao AH có chân đường cao H nằm giữa B và C.

Tam giác ABH vuông tại H nên \(BH = \frac{{AH}}{{\tan B}} = \frac{{AH}}{{\tan {{38}^o}}}\).

Tam giác ACH vuông tại H nên \(CH = \frac{{AH}}{{\tan C}} = \frac{{AH}}{{\tan {{30}^o}}}\).

Ta có:

\(BC = BH + CH = \frac{{AH}}{{\tan {{38}^o}}} + \frac{{AH}}{{\tan {{30}^o}}}\) \(= AH\left( {\frac{1}{{\tan {{38}^o}}} + \frac{1}{{\tan {{30}^o}}}} \right)\)

Do đó, \(AH = \frac{{BC}}{{\frac{1}{{\tan {{38}^o}}} + \frac{1}{{\tan {{30}^o}}}}} \) \(= \frac{{11}}{{\frac{1}{{\tan {{38}^o}}} + \frac{1}{{\tan {{30}^o}}}}} \) \(\approx 3,652\left( {cm} \right)\)

Đề bài

Giải tam giác ABC vuông tại A, với \(AB = c,BC = a,CA = b\) trong các trường hợp (cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) \(a = 5,\widehat B = {50^o}\);

b) \(b = 5,\widehat B = {40^o}\);

c) \(b = 5,\widehat C = {55^o}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\widehat C = {90^o} - \widehat B = {40^o}\),

\(c = 5.\cos B \approx 3,214;\\b = 5\sin B = 5.\sin {50^o} \approx 3,830\)

b) Ta có: \(\widehat C = {90^o} - \widehat B = {50^o}\),

\(b = asinB\) nên \(a = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin {{40}^o}}} \approx 7,779\),

\(b = c.\tan B\) nên \(c = \frac{b}{{\tan B}} = \frac{5}{{\tan {{40}^o}}} \approx 5,959\).

c) \(\widehat B = {90^o} - \widehat C = {35^o}\),

\(b = a.\cos C\) nên \(a = \frac{b}{{\cos C}} = \frac{5}{{\cos {{55}^o}}} \approx 8,717\),

\(c = b.\tan C = 5.\tan {55^o} \approx 7,141\).

Đề bài

Cho A, B là hai địa điểm ở hai bên bờ sông, biết AN và PM cùng vuông góc MN, \(MN = n\) (mét), \(MP = p\) (mét), \(p > n\) và \(\widehat {MPA} = \alpha \) (H.4.12). Chứng minh rằng: \(AB = \frac{{p\tan \alpha  - n}}{{\sin \alpha }}\).

Lời giải chi tiết

Vì AN//PM nên \(\widehat {BAN} = \widehat {BPM} = \alpha \).

Tam giác BAN vuông tại N có:

\(BN = AB.\sin \alpha \).

Tam giác BPM vuông tại M có:

\(BM = PM\tan \alpha  = p\tan \alpha \).

Vì \(BM - BN = MN = n\) nên \(p\tan \alpha  - AB\sin \alpha  = n\).

Suy ra \(AB = \frac{{p\tan \alpha  - n}}{{\sin \alpha }}\).

Đề bài

Một người đứng xa tòa nhà 100m, dùng giác kế thẳng đứng ngắm thấy điểm trên nóc nhà với góc nhìn \({15^o}\) (so với phương nằm ngang) (H.4.13). Hỏi tòa nhà cao bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất), biết chiều cao của giác kế là 1,7m?

Lời giải chi tiết

Gọi C là chân tòa nhà, D là điểm trên nóc tòa nhà, A là nơi đặt mắt giác kế.

Kẻ đường cao AH của tam giác ACD nên

\(CH = 1,7m,AH = 100m,\widehat {DAH} = {15^o}\)

Tam giác AHD vuông tại H có:

\(HD = AH.\tan \widehat {DAH} = 100\tan {15^o}\left( m \right)\).

Vì H ở giữa C và D nên

\(CD = CH + HD = 1,7 + 100.\tan {15^o} \approx 28,5\left( m \right)\).

Đề bài

Hai trạm quan trắc tàu biển đặt ở hai mỏm núi A và B cách nhau 2km, nhìn thấy chiếc tàu C ở phía xa với \(\widehat {CAB} = {50^o},\widehat {CBA} = {45^o}\) (H.4.14). Hỏi tàu còn cách đường thẳng AB bao nhiêu mét?

Lời giải chi tiết

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC thì H nằm giữa A và B vì hai góc A, B đều nhọn.

Tam giác ACH vuông tại H nên \(AH = HC.\cot A\)

Tam giác BCH vuông tại H nên \(BH = HC.\cot B\)

Do đó, \(AB = AH + BH = HC\left( {\cot A + \cot B} \right)\)

Suy ra \(HC = \frac{{AB}}{{\cot A + \cot B}} \) \(= \frac{2}{{\cot {{50}^o} + \cot {{45}^o}}} \) \( \approx 1,087\left( {km} \right) = 1807m\)

Đề bài

Trong một trận chiến đấu, một máy bay của đối phương bay ở độ cao 1 800m. Khẩu pháo cao xa ngắm chiếc máy bay đó dưới một góc \({35^o}\) so với phương nằm ngang. Tìm khoảng cách từ pháo cao xạ đến máy bay (làm tròn đến mét).

Lời giải chi tiết

Khẩu cao xạ ở vị trí A, máy bay ở vị trí B, lấy điểm C sao cho AC mô tả đường nằm ngang qua A, BC là đường thẳng đứng (với mặt đất).

Trong tam giác ABC vuông tại C ta có: \(BC = AB.\sin A\) nên \(AB = \frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{1800}}{{\sin {{35}^o}}} \approx 3\;138\left( m \right)\)

Đề bài

Từ một đài quan sát ở cạnh bờ biển, có độ cao 300m so với mặt biển, nhìn thấy một con tàu dưới một góc \({25^o}\) (so với phương nằm ngang của mực nước biển (H.4.15)). Hỏi khoảng cách từ tàu đến đài quan sát xấp xỉ bao nhiêu mét?

Lời giải chi tiết

Giả sử đài quan sát ở vị trí A, tàu ở vị trí B, gọi H là chân đài quan sát, coi AH vuông góc với BH thì \(AH = 300m,\widehat {ABH} = {25^o}\), ta cần tính BH. Trong tam giác ABH vuông tại H nên \(AH = BH.\tan \widehat {ABH}\) nên \(BH = \frac{{AH}}{{\tan \widehat {ABH}}} = \frac{{300}}{{\tan {{25}^o}}} \approx 643\left( m \right)\)