Bài 15. Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Đề bài

Cho hình thoi ABCD có \(\widehat A = {75^o}\) và \(AB = 6cm\). Vẽ đường tròn (D), bán kính 6cm.

a) Chứng minh rằng A, C \( \in \left( D \right)\).

b) Tính độ dài cung nhỏ AC và diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AC.

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình thoi nên \(AD = DC = 6cm\) (cùng bằng AB). Do đó, A, C \( \in \left( D; 6cm \right)\).

b) Vì ABCD là hình thoi nên \(\widehat {BAD} = \widehat {BCD} = {75^o},\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\).

Lại có: \(\widehat {BAD} + \widehat {BCD} + \widehat {ADC} + \widehat {ABC} = {360^o}\),

suy ra \(2\widehat {ADC} = {360^o} - {2.75^o} = {210^o}\)

nên \(\widehat {ADC} = {105^o}\)

Góc ADC là góc ở tâm chắn cung nhỏ AC nên sđ$\overset\frown{AC}$_nhỏ \( = \widehat {ADC} = {105^o}\).

Độ dài cung nhỏ AC là:

${{l}_{\overset\frown{AC}}}=\frac{105}{180}.\pi .6=\frac{7\pi }{2}\left( cm \right)$

Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AC là:

${{S}_{\overset\frown{AC}}}=\frac{105}{360}.\pi {{.6}^{2}}=\frac{21\pi }{2}\left( c{{m}^{2}} \right)$.

Đề bài

Độ dài của một cung tròn bằng \(\frac{2}{5}\) chu vi của hình tròn có cùng bán kính. Tính diện tích của hình quạt tròn ứng với cung tròn đó, biết diện tích của hình tròn là \(S = 20c{m^2}\).

Lời giải chi tiết

Gọi R, C, S lần lượt là bán kính, chu vi là diện tích của hình tròn.

Khi đó, diện tích của hình tròn là: \(S = \pi {R^2}\), chu vi của đường tròn bán kính R là: \(C = 2\pi R\).

Vì độ dài một cung tròn bằng \(\frac{2}{5}\) chu vi hình tròn cùng bán kính R nên: \(\frac{{\frac{n}{{180}}.\pi R}}{{2\pi R}} = \frac{n}{{360}} = \frac{2}{5}\) (1).

Diện tích hình quạt tròn ứng với cung tròn có độ dài bằng \(\frac{2}{5}\) chu vi của hình tròn bán kính R là: \({S_q} = \frac{n}{{360}}.\pi {R^2}\).

Ta có: \(\frac{{{S_q}}}{S} = \frac{{\frac{n}{{360}}.\pi {R^2}}}{{\pi {R^2}}} = \frac{n}{{360}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{{S_q}}}{S} = \frac{2}{5}\), suy ra: \({S_q} = \frac{2}{5}.S = \frac{2}{5}.20 = 8\left( {c{m^2}} \right)\)

Đề bài

Trên bờ của một cái ao cá hình tròn, người ta dựng ba cái chòi câu cá tại các điểm A, B và C. Biết rằng tam giác ABC cân tại B và có \(AB = BC = 10m,\widehat {ABC} = {120^o}\) (H.5.5).

a) Tính bán kính của ao cá.

b) Tính độ dài quãng đường (men theo bờ ao) từ chòi A đến chòi B và chòi C (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải chi tiết

a) Gọi O là tâm của hình tròn (ao), ta có \(OA = OC\) nên O thuộc đường trung trực của AC. Mà tam giác ABC cân tại B nên đường trung trực của AC cũng là phân giác của góc ABC nên \(\widehat {ABO} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = {60^o}\)

Tam giác AOB có \(OA = OB,\widehat {ABO} = {60^o}\) nên tam giác AOB đều. Do đó, \(AO = AB = 10m\). Vậy bán kính của ao cá bằng 10m.

b) Độ dài quãng đường từ chòi A đến chòi B là độ dài cung nhỏ AB.

Theo phần a, ta có \(\widehat {AOB} = {60^o}\) và bán kính đường tròn là 10m nên quãng đường đó là: \(\frac{{60}}{{180}}.\pi .10 = \frac{{10\pi }}{3} \approx 10,5\left( m \right)\)

Theo phần a ta thấy hai cung AB và BC có cùng số đo bằng 60 độ nên chúng bằng nhau và độ dài của chúng cũng bằng nhau. Do đó, quãng đường từ A đến C men theo bờ bằng 2 lần độ dài cung AB. Suy ra, độ dài quãng đường A đến C men theo bờ là: \(\frac{{20\pi }}{3} \approx 20,9\left( m \right)\).

Đề bài

Giả định rằng Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo tròn có bán kính khoảng 150 triệu kilômét và phải hết đúng một năm (365 ngày) để hoàn thành một vòng quay. Hãy tính quãng đường Trái Đất đi được trong một ngày (làm tròn đến hàng nghìn theo đơn vị kilômét).

Lời giải chi tiết

Chu vi Trái đất là:

\(C = {2.150\;000\;000\pi }\)

Quãng đường đi được của Trái Đất trong 1 ngày bằng \(\frac{1}{{365}}\) quãng đường đi trong một năm, tức là bằng \(\frac{1}{{365}}\left( {2.150\;000\;000\pi } \right) \approx 2\;582\;000\left( {km} \right)\).

Đề bài

Năm học vừa qua, kết quả xếp loại học lực cuối năm học sinh của một huyện được biểu thị trong biểu đồ hình quạt tròn như hình bên:

Hãy tìm số đo của các cung tròn tương ứng với mỗi hình quạt biểu thị các số liệu cho trên hình.

Lời giải chi tiết

Cung tròn ứng với hình quạt biểu diễn thị tỉ lệ học sinh được xếp loại “tốt” có số đo bằng: \(35\% {.360^o} = {126^o}\).

Cung tròn ứng với hình quạt biểu diễn thị tỉ lệ học sinh được xếp loại “khá” có số đo bằng: \(40\% {.360^o} = {144^o}\).

Cung tròn ứng với hình quạt biểu diễn thị tỉ lệ học sinh được xếp loại “đạt” có số đo bằng: \(25\% {.360^o} = {90^o}\).

Đề bài

Một chiếc pizza hình tròn được chia thành 8 miếng như nhau bởi 4 nhát cắt qua tâm (H.5.6).

a) Mỗi miếng bánh có dạng một hình quạt tròn ứng với cung bao nhiêu độ?

b) Người ta chọn một chiếc hộp có đáy là hình vuông để đặt lọt chiếc bánh vào trong đó (mà vẫn giữ nguyên hình tròn). Hỏi mỗi cạnh đáy của chiếc hộp đó tối thiểu phải dài bao nhiêu centimét (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng diện tích bề mặt mỗi miếng bánh đó bằng \(60c{m^2}\)?

Lời giải chi tiết

a) Vì chiếc pizza hình tròn được chia thành 8 miếng như nhau bởi 4 nhát cắt qua tâm nên số đo mỗi góc ở tâm là: \(\frac{{{{360}^o}}}{8} = {45^o}\).

Do đó, mỗi miếng bánh có dạng một hình quạt tròn ứng với cung 45 độ.

b) Diện tích bề mặt mỗi miếng bánh là \(60c{m^2}\) nên diện tích cả chiếc bánh là:

\(60.8 = 480\left( {c{m^2}} \right)\).

Gọi R là bán kính của chiếc bánh thì ta có: \(\pi {R^2} = 480\)

Suy ra: \(R = \sqrt {\frac{{480}}{\pi }}  \approx 12,4\left( {cm} \right)\)

Do đó, đường kính của chiếc bánh là: \(12,4.2 \approx 24,8\left( {cm} \right)\).

Vậy để có thể đặt lọt chiếc bánh vào hộp, chiều dài tối thiểu cạnh đáy của chiếc hộp là 25cm.