Giải Vận dụng trang 38 Chuyên đề Vật lí 12

Lời giải

## Dự án: Thiết kế mô hình chụp cắt lớp (CT) đơn giản

Đây là câu Vận dụng dạng dự án thực hành, không có đáp số tính toán cố định. Sản phẩm được đánh giá theo mức độ thể hiện đúng nguyên lí chụp cắt lớp: *chiếu chùm tia qua vật theo nhiều hướng, đo độ suy giảm ở mỗi hướng rồi tổng hợp (chiếu ngược) để dựng ảnh mặt cắt bên trong vật*.

---

### Bước 1: Xác định nhiệm vụ

Tìm hiểu nguyên lí chụp cắt lớp (CT – Computed Tomography): Chùm tia (tia X trong máy thật) chiếu qua vật bị suy giảm theo định luật Beer–Lambert:
$$I = I_0\,e^{-\mu d}$$
trong đó $I_0$ là cường độ tia tới, $I$ là cường độ tia truyền qua, $\mu$ là hệ số suy giảm tuyến tính của vật liệu, $d$ là bề dày lớp vật liệu. Đo $I$ theo nhiều hướng chiếu (góc $\theta$ thay đổi từ $0°$ đến $180°$) rồi dùng máy tính tái tạo phân bố $\mu(x,y)$ trên mặt cắt ngang — đó chính là ảnh CT.

Lựa chọn mô hình: Mô hình chụp cắt lớp quang học đơn giản, dùng đèn LED thay tia X và cảm biến quang LDR thay đầu thu — rẻ, an toàn (không bức xạ ion hóa), phù hợp phòng thí nghiệm phổ thông.

---

### Bước 2: Xác định ý tưởng thiết kế

Nguyên lí hoạt động:
- Nguồn LED có ống chuẩn trực tạo chùm sáng hẹp, song song, chiếu qua vật đặt trên bàn xoay chia độ.
- Tại mỗi góc $\theta$, tịnh tiến vật (hoặc cụm nguồn–thu) ngang qua chùm sáng, ghi điện áp trên LDR tại từng vị trí $s$ để suy ra cường độ $I(\theta, s)$.
- Hàm chiếu tại mỗi hướng: $p(\theta, s) = \ln\dfrac{I_0}{I(\theta, s)}$, tương đương tích phân đường của $\mu$ dọc tia (biến đổi Radon):
$$p(\theta, s) = \int_{\text{tia }(s,\theta)} \mu(x,y)\,dl$$
- Từ tập số liệu $p(\theta, s)$, tái tạo ảnh bằng phương pháp chiếu ngược (back-projection).

Cấu tạo chính của mô hình:

| Bộ phận | Vật liệu / linh kiện |
|---|---|
| Nguồn sáng | Đèn LED trắng + ống chuẩn trực (ống nhựa đen) |
| Vật "quét" | Hình trụ nhựa trong chứa các vật liệu khác nhau (đất sét, nước, không khí) |
| Bàn xoay | Bàn xoay chia độ ($0°$–$180°$) |
| Đầu thu | Điện trở quang LDR nối tiếp điện trở $R = 10\,\text{k}\Omega$ |
| Đo tín hiệu | Vôn kế (hoặc Arduino Uno + máy tính) |
| Nguồn điện | Pin $5\,\text{V}$ |

---

### Bước 3: Thống nhất tiêu chí đánh giá mô hình

| STT | Tiêu chí | Mức đánh giá |
|---|---|---|
| 1 | Thể hiện đúng nguyên lí suy giảm tia (Beer–Lambert) | Đạt / Không đạt |
| 2 | Thu được số hình chiếu đủ nhiều (≥ 9 góc trong khoảng $0°$–$180°$) | Đạt / Không đạt |
| 3 | Ảnh tái tạo phân biệt được ≥ 2 vật liệu có $\mu$ khác nhau, đúng vị trí tương đối | Đạt / Không đạt |
| 4 | An toàn: không dùng bức xạ ion hóa, LED/laser công suất thấp | Bắt buộc |
| 5 | Có bản thiết kế (sơ đồ nguyên lí) và ảnh thực tế mô hình | Đạt / Không đạt |
| 6 | Vật liệu rẻ, dễ kiếm, lắp ráp chắc chắn | Tham khảo |

---

### Bước 4: Thực hiện thiết kế mô hình

Sơ đồ nguyên lí:
```
[Pin 5 V] → [LED + ống chuẩn trực] → [Vật trên bàn xoay] → [LDR + R] → [Vôn kế]
```

Quy trình vận hành:

a) Đặt góc $\theta = 0°$. Tịnh tiến vật qua chùm sáng theo các vị trí $s_1, s_2, \dots, s_{10}$ (bước $2\,\text{mm}$); tại mỗi vị trí ghi điện áp $U_i$ trên LDR.

b) Tính hàm chiếu: $p_i = \ln\dfrac{U_0}{U_i}$, với $U_0$ là điện áp khi tia đi qua không khí (không có vật).

c) Xoay bàn thêm $20°$, lặp lại (a)–(b) đến $\theta = 160°$ — tổng cộng 9 hình chiếu.

d) Lập bảng số liệu $p(\theta_j, s_i)$ (ma trận $9 \times 10$).

e) Tái tạo ảnh bằng chiếu ngược đơn giản: tại mỗi điểm ảnh $(x,y)$, cộng dồn giá trị hàm chiếu của các tia đi qua điểm đó:
$$\hat{\mu}(x,y) = \sum_{j=1}^{9} p\!\left(\theta_j,\; x\cos\theta_j + y\sin\theta_j\right)$$

f) Vẽ bản đồ màu của $\hat{\mu}(x,y)$ trên giấy kẻ ô hoặc bảng tính → ảnh mặt cắt mô phỏng.

---

### Bước 5: Xây dựng báo cáo

a) Lí thuyết: Nguyên lí CT, công thức $I = I_0 e^{-\mu d}$, ý nghĩa biến đổi Radon.

b) Bản thiết kế: Sơ đồ nguyên lí mạch điện; bản vẽ kĩ thuật bàn xoay và giá đỡ LED/LDR kèm kích thước.

c) Ảnh thực tế: Ảnh chụp mô hình đã lắp ráp hoàn chỉnh (≥ 2 góc nhìn).

d) Số liệu & ảnh tái tạo: Bảng $p(\theta_j, s_i)$ và ảnh mặt cắt tái tạo (màu khác nhau thể hiện $\mu$ khác nhau).

e) Nhận xét: So sánh ảnh tái tạo với hình dạng thực của vật; chỉ ra nguyên nhân sai lệch (số góc ít, nhiễu ánh sáng nền…) và hướng cải tiến.

---

### Bước 6: Báo cáo và đánh giá dự án

- Hình thức: Thuyết trình trực tiếp ($10$–$15$ phút) kết hợp trình chiếu và trưng bày mô hình thật, demo quá trình quét.
- Đánh giá theo phiếu tiêu chí (Bước 3): các nhóm đánh giá chéo, đối chiếu ảnh tái tạo với vật thật.
- Bài học kinh nghiệm: Tăng số góc chiếu (bước $10°$, tổng $18$ góc, phủ đủ $0°$–$180°$) cải thiện rõ chất lượng ảnh; che tối phòng để giảm nhiễu; có thể dùng Arduino + Python để tự động hóa thu số liệu và dựng ảnh.

> *Lưu ý:* Trong tái tạo với số góc ít, ảnh chiếu ngược thô sẽ bị mờ (vệt sao); máy CT thật dùng hàng trăm góc kèm lọc (filtered back-projection) nên ảnh sắc nét — đây là điểm mô hình đơn giản chấp nhận gần đúng.

Đáp số