Giải Bài 3.30 trang 40 SBT Toán 9

Lời giải

Đặt $x=\sqrt{3+\sqrt5}$ và $y=\sqrt{3-\sqrt5}$ (cả hai đều không âm). Ta sẽ tính hai đại lượng cơ bản là tích $xy$ và tổng $x+y$ để dùng cho cả hai câu.

a) Chứng minh.

*Tính $x\cdot y$:* Vì $x,y\ge0$ nên
$$x\cdot y=\sqrt{3+\sqrt5}\cdot\sqrt{3-\sqrt5}=\sqrt{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}=\sqrt{3^2-(\sqrt5)^2}=\sqrt{9-5}=\sqrt4=2.$$
Vậy $\sqrt{3+\sqrt5}\cdot\sqrt{3-\sqrt5}=2$ (đpcm).

*Tính $x+y$:* Vì $x+y\ge0$, ta xét bình phương của nó:
$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=(3+\sqrt5)+2\cdot2+(3-\sqrt5)=6+4=10.$$
Do $x+y\ge0$ nên $x+y=\sqrt{10}$, tức là $\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}=\sqrt{10}$ (đpcm).

Như vậy ta có hai kết quả dùng cho câu b): $x+y=\sqrt{10}$ và $xy=2$.

b) Rút gọn.

*Tính $A=x^3+y^3$.* Dùng hằng đẳng thức $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$:
$$A=(\sqrt{10})^3-3\cdot2\cdot\sqrt{10}=10\sqrt{10}-6\sqrt{10}=4\sqrt{10}.$$

*Tính $B=x^5+y^5$.* Để tiện, ta tính dần các tổng lũy thừa với $x+y=\sqrt{10}$, $xy=2$.

- $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=10-4=6.$
- $x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2=6^2-2\cdot2^2=36-8=28.$

Áp dụng $x^5+y^5=(x+y)(x^4+y^4)-xy\,(x^3+y^3)$:
$$B=\sqrt{10}\cdot28-2\cdot4\sqrt{10}=28\sqrt{10}-8\sqrt{10}=20\sqrt{10}.$$

Kiểm tra lại (gần đúng). $\sqrt5\approx2{,}236$ nên $x\approx2{,}288$, $y\approx0{,}874$. Khi đó $x^3+y^3\approx11{,}98+0{,}67=12{,}65\approx4\sqrt{10}$ và $x^5+y^5\approx62{,}7+0{,}51=63{,}2\approx20\sqrt{10}$. Kết quả phù hợp.

Vậy $A=4\sqrt{10}$ và $B=20\sqrt{10}$.

Đáp số