Giải Bài 3.31 trang 40 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Vì $x,\;y$ là hai số dương và $x^2+y^2=1$ nên ta biến đổi các biểu thức dưới dấu căn theo giả thiết.

Bước 1. Từ $x^2+y^2=1$ suy ra:
$$1-x^2=y^2\qquad\text{và}\qquad 1-y^2=x^2.$$

Bước 2. Thay vào các căn thức. Vì $x>0,\;y>0$ nên $\sqrt{y^2}=|y|=y$ và $\sqrt{x^2}=|x|=x$:
$$\sqrt{1-x^2}=\sqrt{y^2}=y,\qquad \sqrt{1-y^2}=\sqrt{x^2}=x.$$

Bước 3. Thay hai kết quả trên vào biểu thức $A$:
$$A=x-y+\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-y^2}=x-y+y-x=0.$$

Kiểm tra. Chọn $x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ (thoả $x^2+y^2=\tfrac12+\tfrac12=1$):
$$A=\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}+\sqrt{1-\tfrac12}-\sqrt{1-\tfrac12}=0.$$
Kết quả phù hợp.

Vậy $A=0$ với mọi cặp số dương $x,\;y$ thoả mãn $x^2+y^2=1$.

Đáp số