Giải Bài 3.32 trang 40 SBT Toán 9

Lời giải

## a) Khai triển

Tính $(2-\sqrt{3})^2$:

$$(2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2\cdot 2\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}.$$

Tính $(2\sqrt{3}-3)^2$:

$$(2\sqrt{3}-3)^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 3 + 3^2 = 12 - 12\sqrt{3} + 9 = 21 - 12\sqrt{3}.$$

Vậy $7-4\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^2$ và $21-12\sqrt{3}=(2\sqrt{3}-3)^2$.

## b) Rút gọn

Rút gọn $A=\sqrt{4-2\sqrt{3}-\sqrt{21-12\sqrt{3}}}$:

Theo câu a):
$$\sqrt{21-12\sqrt{3}}=\sqrt{(2\sqrt{3}-3)^2}=\left|2\sqrt{3}-3\right|.$$

Vì $2\sqrt{3}=\sqrt{12}>\sqrt{9}=3$ nên $2\sqrt{3}-3>0$, do đó:
$$\sqrt{21-12\sqrt{3}}=2\sqrt{3}-3.$$

Thay vào biểu thức dưới dấu căn của $A$:
$$4-2\sqrt{3}-\left(2\sqrt{3}-3\right)=4-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}.$$

Lại theo câu a) có $7-4\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^2$, nên:
$$A=\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}=\left|2-\sqrt{3}\right|.$$

Vì $2=\sqrt{4}>\sqrt{3}$ nên $2-\sqrt{3}>0$, suy ra:
$$A=2-\sqrt{3}.$$

Rút gọn $B=\sqrt{2+\sqrt{3}+\sqrt{4-2\sqrt{3}-\sqrt{21-12\sqrt{3}}}}$:

Nhận thấy biểu thức dưới căn trong cùng chính là $A$ vừa rút gọn, nên:
$$B=\sqrt{2+\sqrt{3}+A}=\sqrt{2+\sqrt{3}+\left(2-\sqrt{3}\right)}=\sqrt{4}=2.$$

Kiểm tra lại (gần đúng): với $\sqrt{3}\approx 1{,}732$: $\sqrt{21-12\sqrt{3}}\approx 0{,}464$; $4-2\sqrt{3}-0{,}464\approx 0{,}072$; $A\approx\sqrt{0{,}072}\approx 0{,}268=2-\sqrt{3}$ (đúng). Và $2+\sqrt{3}+0{,}268\approx 4\Rightarrow B=2$ (đúng).

Vậy $A=2-\sqrt{3}$ và $B=2$.

Đáp số