Giải Bài 4.2 trang 45 SBT Toán 9

Lời giải

a) Chứng minh

Với hai góc phụ nhau, ta có tính chất: nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, côsin góc này bằng sin góc kia.

Xét hai góc $45^\circ - \alpha$ và $45^\circ + \alpha$. Vì $\alpha$ là góc nhọn và $\alpha < 45^\circ$ nên $45^\circ - \alpha$ và $45^\circ + \alpha$ đều là góc nhọn, đồng thời:

$$(45^\circ - \alpha) + (45^\circ + \alpha) = 90^\circ.$$

Vậy $45^\circ - \alpha$ và $45^\circ + \alpha$ là hai góc phụ nhau. Do đó:

$$\sin(45^\circ - \alpha) = \cos(45^\circ + \alpha),$$
$$\cos(45^\circ - \alpha) = \sin(45^\circ + \alpha).$$

(đpcm)

b) Tính giá trị biểu thức

$$S = \sin 25^\circ + \sin 35^\circ + \sin 45^\circ - \cos 45^\circ - \cos 55^\circ - \cos 65^\circ.$$

Ta chuyển các côsin về sin của góc phụ (dùng tính chất hai góc phụ nhau):

- $\cos 65^\circ = \sin(90^\circ - 65^\circ) = \sin 25^\circ$,
- $\cos 55^\circ = \sin(90^\circ - 55^\circ) = \sin 35^\circ$,
- $\cos 45^\circ = \sin(90^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ$.

Thay vào biểu thức:

$$S = \sin 25^\circ + \sin 35^\circ + \sin 45^\circ - \sin 45^\circ - \sin 35^\circ - \sin 25^\circ.$$

Các số hạng khử nhau từng cặp:

$$S = (\sin 25^\circ - \sin 25^\circ) + (\sin 35^\circ - \sin 35^\circ) + (\sin 45^\circ - \sin 45^\circ) = 0.$$

Vậy $S = 0$.

*Kiểm tra:* $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ$ nên $\sin 45^\circ - \cos 45^\circ = 0$; còn lại $\cos 55^\circ = \sin 35^\circ$ và $\cos 65^\circ = \sin 25^\circ$ khử hết các số hạng, kết quả bằng $0$ là đúng.

Đáp số