Giải Bài 4.5 trang 45 SBT Toán 9

Lời giải

Nhận xét mấu chốt: Với hai góc phụ nhau (tổng bằng $90^\circ$) thì sin của góc này bằng cos của góc kia: $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$.

Ta ghép các số hạng có góc phụ nhau: $25^\circ$ với $65^\circ$ (vì $25^\circ+65^\circ=90^\circ$), $35^\circ$ với $55^\circ$ (vì $35^\circ+55^\circ=90^\circ$), còn lại $45^\circ$.

Bước 1. Vì $65^\circ=90^\circ-25^\circ$ nên $\sin 65^\circ=\cos 25^\circ$. Do đó:
$$\sin^2 25^\circ+\sin^2 65^\circ=\sin^2 25^\circ+\cos^2 25^\circ=1.$$

Bước 2. Vì $55^\circ=90^\circ-35^\circ$ nên $\sin 55^\circ=\cos 35^\circ$. Do đó:
$$\sin^2 35^\circ+\sin^2 55^\circ=\sin^2 35^\circ+\cos^2 35^\circ=1.$$

Bước 3. Với góc $45^\circ$: $\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ nên
$$\sin^2 45^\circ=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.$$

Bước 4. Cộng tất cả lại:
$$\sin^2 25^\circ+\sin^2 35^\circ+\sin^2 45^\circ+\sin^2 55^\circ+\sin^2 65^\circ=1+1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}=2{,}5.$$

Kiểm tra lại: Hai cặp góc phụ nhau cho tổng $1+1=2$, cộng với $\sin^2 45^\circ=0{,}5$ được $2{,}5$. Đáp số hợp lí.

Đáp số