Giải Bài 4.7 trang 45 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $D$ xuống đường thẳng $BC$. Khi đó khoảng cách cần tính là $DH$. Ta sẽ chứng minh $DH = \dfrac{AB}{4}$.

Bước 1. Tính các góc.
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $\widehat{A} + \widehat{C} = 90^\circ$. Vì $\widehat{A} = 30^\circ$ nên
$$\widehat{C} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.$$
Tia $Bt$ nằm giữa hai tia $BA$ và $BC$ với $\widehat{CBt} = 30^\circ$, tức $\widehat{DBC} = 30^\circ$.

Bước 2. Tam giác $BDC$ vuông tại $D$.
Xét tam giác $BDC$ có $\widehat{DBC} = 30^\circ$ và $\widehat{BCD} = \widehat{C} = 60^\circ$, nên
$$\widehat{BDC} = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ.$$
Vậy tam giác $BDC$ vuông tại $D$.

Bước 3. Tính $BC$ theo $AB$.
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $B$, theo hệ thức giữa cạnh và góc:
$$BC = AB \cdot \tan\widehat{A} = AB \cdot \tan 30^\circ = \frac{AB}{\sqrt{3}}.$$

Bước 4. Tính $DC$.
Trong tam giác $BDC$ vuông tại $D$, theo hệ thức giữa cạnh và góc (với góc $\widehat{C}=60^\circ$):
$$DC = BC \cdot \cos\widehat{C} = BC \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\,BC.$$

Bước 5. Tính khoảng cách $DH$.
Tam giác $DHC$ vuông tại $H$ (vì $DH \perp BC$), có $\widehat{C}=60^\circ$, nên
$$DH = DC \cdot \sin\widehat{C} = DC \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2}BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,BC.$$
Thay $BC = \dfrac{AB}{\sqrt{3}}$ vào:
$$DH = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{4}.$$

Kết luận. Khoảng cách từ $D$ đến đường thẳng $BC$ bằng $DH = \dfrac{AB}{4}$ (đpcm).

Đáp số