Giải Bài 4.12 trang 46 SBT Toán 9

Lời giải

a) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có góc nhọn $B$ thoả mãn $\tan B = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Ta có $\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Mà trong các tỉ số lượng giác của góc nhọn đặc biệt thì $\tan 30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Do đó $\widehat{B} = 30^\circ$.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{A} = 90^\circ$ và hai góc nhọn phụ nhau:
$$\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.$$

Vậy ba góc của tam giác vuông đó là $90^\circ,\ 60^\circ,\ 30^\circ$.

b) Xét hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 3$, $BC = \sqrt{3}$ và đường chéo $AC$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ (vì $\widehat{B} = 90^\circ$). Đường chéo $AC$ tạo với cạnh $AB$ góc $\widehat{BAC}$ và tạo với cạnh $BC$ góc $\widehat{BCA}$.

*Góc giữa đường chéo và cạnh $AB$ (cạnh dài):*
$$\tan \widehat{BAC} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \ \Rightarrow\ \widehat{BAC} = 30^\circ.$$

*Góc giữa đường chéo và cạnh $BC$ (cạnh ngắn):*
$$\tan \widehat{BCA} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \ \Rightarrow\ \widehat{BCA} = 60^\circ.$$

(Kiểm tra: $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$, phù hợp với hai góc nhọn của tam giác vuông $ABC$.)

Vậy đường chéo tạo với các cạnh của hình chữ nhật hai góc là $30^\circ$ và $60^\circ$.

Đáp số