Giải Bài 4.15 trang 46 SBT Toán 9

Lời giải

Thiết lập. Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, có $\widehat{A}=\alpha$ (với $0^\circ<\alpha<90^\circ$). Đặt:

- $BC=a$ (cạnh đối của góc $\alpha$),
- $AC=b$ (cạnh kề của góc $\alpha$),
- $AB=c$ (cạnh huyền).

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn:
$$\sin\alpha=\dfrac{a}{c},\quad \cos\alpha=\dfrac{b}{c},\quad \tan\alpha=\dfrac{a}{b},\quad \cot\alpha=\dfrac{b}{a}.$$

a) Chứng minh $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ và $\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Ta có:
$$\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\dfrac{a}{c}}{\dfrac{b}{c}}=\dfrac{a}{c}\cdot\dfrac{c}{b}=\dfrac{a}{b}=\tan\alpha.$$

Tương tự:
$$\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{\dfrac{b}{c}}{\dfrac{a}{c}}=\dfrac{b}{c}\cdot\dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{a}=\cot\alpha.$$

Vậy $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ và $\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ (đpcm).

b) Chứng minh $1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$.

Theo định nghĩa, $\tan\alpha=\dfrac{a}{b}$ nên:
$$1+\tan^2\alpha=1+\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{b^2+a^2}{b^2}.$$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên theo định lí Pythagore: $a^2+b^2=c^2$. Do đó:
$$1+\tan^2\alpha=\dfrac{c^2}{b^2}=\dfrac{1}{\dfrac{b^2}{c^2}}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{b}{c}\right)^2}=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}.$$

Vậy $1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ (đpcm).

Đáp số