Giải Bài 4.17 trang 46 SBT Toán 9

Lời giải

## a) Chứng minh $\cos\alpha > \cos\beta$

Dựng hình (ý tưởng của Ví dụ 5). Dựng đoạn thẳng $BC = 1$ và vẽ đường tròn đường kính $BC$. Trên cùng một nửa đường tròn, lấy hai điểm $A_1,\,A_2$ sao cho
$$\widehat{A_1BC}=\alpha,\qquad \widehat{A_2BC}=\beta \quad(\alpha<\beta<90^\circ).$$

Vì $A_1,\,A_2$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$ nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn):
$$\widehat{BA_1C}=\widehat{BA_2C}=90^\circ.$$

Xét các tam giác vuông có chung cạnh huyền $BC=1$:

- Tam giác $BA_1C$ vuông tại $A_1$: $\;\cos\alpha=\dfrac{BA_1}{BC}=BA_1.$
- Tam giác $BA_2C$ vuông tại $A_2$: $\;\cos\beta=\dfrac{BA_2}{BC}=BA_2.$

(Theo bài 4.15, với góc nhọn thì các tỉ số lượng giác đều dương, nên $BA_1,\,BA_2>0$.)

So sánh hai dây $BA_1$ và $BA_2$. Góc nội tiếp $\widehat{A_1BC}=\alpha$ chắn cung $A_1C$ nên $\text{cung }A_1C=2\alpha$; tương tự $\text{cung }A_2C=2\beta$. Do đó
$$\text{cung }BA_1=180^\circ-2\alpha,\qquad \text{cung }BA_2=180^\circ-2\beta.$$

Vì $\alpha<\beta$ nên $180^\circ-2\alpha>180^\circ-2\beta$, tức cung $BA_1>$ cung $BA_2$ (cả hai đều nhỏ hơn $180^\circ$). Trong một đường tròn, dây căng cung lớn hơn thì lớn hơn, suy ra
$$BA_1>BA_2\;\Longrightarrow\;\cos\alpha>\cos\beta.\qquad\text{(đpcm)}$$

##

b) Chứng minh $\sin\alpha < \sin\beta$

Vì $\alpha,\beta$ là các góc nhọn nên $\sin\alpha,\ \sin\beta,\ \cos\alpha,\ \cos\beta$ đều dương.

Theo câu a): $\cos\alpha>\cos\beta>0$, suy ra
$$\cos^2\alpha>\cos^2\beta.$$

Áp dụng công thức $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, tức $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$, ta có:
$$\sin^2\alpha-\sin^2\beta=(1-\cos^2\alpha)-(1-\cos^2\beta)=\cos^2\beta-\cos^2\alpha<0.$$

Vậy $\sin^2\alpha<\sin^2\beta$. Vì $\sin\alpha,\ \sin\beta>0$ nên lấy căn bậc hai được
$$\sin\alpha<\sin\beta.\qquad\text{(đpcm)}$$

Nhận xét. Khi góc nhọn tăng dần (từ $0^\circ$ đến $90^\circ$) thì $\cos$ giảm, còn $\sin$ tăng.

Đáp số