Giải Bài 4.18 trang 48 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ($H$ thuộc $BC$). Góc $C$ là góc nhọn chung của hai tam giác vuông $ABC$ (vuông tại $A$) và $AHC$ (vuông tại $H$), nên ta tính $\cos C$ theo cả hai tam giác đó.

a) Cách 1 — xét tam giác vuông $ABC$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $BC$ là cạnh huyền. Với góc nhọn $C$, cạnh kề là $AC$, cạnh huyền là $BC$. Do đó:
$$\cos C = \dfrac{AC}{BC}.$$

b) Cách 2 — xét tam giác vuông $AHC$.

Vì $AH \perp BC$ nên tam giác $AHC$ vuông tại $H$, có cạnh huyền là $AC$. Với góc nhọn $C$, cạnh kề là $HC$, cạnh huyền là $AC$. Do đó:
$$\cos C = \dfrac{HC}{AC}.$$

c) Suy ra $AC^2 = BC \cdot HC$.

Hai cách trên cùng tính $\cos C$ của một góc $C$, nên hai kết quả bằng nhau:
$$\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{HC}{AC}.$$

Nhân chéo hai tỉ số (các độ dài đều dương) ta được:
$$AC \cdot AC = BC \cdot HC \quad\Rightarrow\quad AC^2 = BC \cdot HC. \qquad \text{(đpcm)}$$

Kiểm tra lại. Lấy ví dụ $AB = 3$, $AC = 4$ thì $BC = 5$. Khi đó $AC^2 = 16$, suy ra $HC = \dfrac{AC^2}{BC} = \dfrac{16}{5} = 3{,}2$. Kiểm tra $\cos C$ cách 1: $\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$; cách 2: $\dfrac{HC}{AC} = \dfrac{3{,}2}{4} = 0{,}8$. Hai cách cho cùng một giá trị, hệ thức đúng.

Đáp số