Giải Bài 4.20 trang 48 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AH \perp BC$ là đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền. Ta dùng hai cách tính diện tích tam giác $ABC$ và định lí Pythagore.

Bước 1. Tính diện tích tam giác $ABC$ theo hai cách.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên hai cạnh góc vuông là $AB$ và $AC$:
$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\,AB\cdot AC.$$

Mặt khác, $AH$ là đường cao ứng với cạnh huyền $BC$ nên:
$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\,BC\cdot AH.$$

Từ hai cách tính trên suy ra:
$$AB\cdot AC = BC\cdot AH. \qquad (1)$$

Bước 2. Bình phương hai vế của $(1)$.

$$AB^2\cdot AC^2 = BC^2\cdot AH^2. \qquad (2)$$

Bước 3. Áp dụng định lí Pythagore.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2.$$

Thay vào $(2)$:
$$AB^2\cdot AC^2 = (AB^2 + AC^2)\cdot AH^2.$$

Bước 4. Chia hai vế cho $AH^2\cdot AB^2\cdot AC^2$ (đều khác $0$).

$$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{AB^2 + AC^2}{AB^2\cdot AC^2} = \dfrac{AB^2}{AB^2\cdot AC^2} + \dfrac{AC^2}{AB^2\cdot AC^2} = \dfrac{1}{AC^2} + \dfrac{1}{AB^2}.$$

Vậy:
$$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2}. \qquad \text{(đpcm)}$$

Kiểm tra lại. Chọn thử $AB = 3$, $AC = 4$ thì $BC = 5$; từ $(1)$ có $AH = \dfrac{AB\cdot AC}{BC} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4$. Khi đó $\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{5{,}76} \approx 0{,}1736$, còn $\dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2} = \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{25}{144} \approx 0{,}1736$. Hai vế bằng nhau, hệ thức đúng.

Đáp số