Giải Bài 4.21 trang 49 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Vì $\widehat{ABC}=38^\circ$ và $\widehat{ACB}=30^\circ$ đều là góc nhọn nên chân đường cao $H$ nằm giữa $B$ và $C$, do đó $BH+HC=BC=11$ (cm).

Đặt ẩn và lập hệ. Gọi $BH=x$ (cm), $HC=y$ (cm) với $x>0,\ y>0$.

Vì $AH\perp BC$ nên tam giác $ABH$ vuông tại $H$, suy ra
$$AH=BH\cdot\tan\widehat{ABH}=x\tan 38^\circ.$$
Tam giác $ACH$ vuông tại $H$, suy ra
$$AH=HC\cdot\tan\widehat{ACH}=y\tan 30^\circ.$$

Ta có hệ phương trình (ẩn $x,\ y$):
$$\begin{cases} x+y=11 \\ x\tan 38^\circ=y\tan 30^\circ \end{cases}$$

Giải hệ. Từ phương trình thứ hai: $y=\dfrac{\tan 38^\circ}{\tan 30^\circ}\,x$. Thay vào phương trình thứ nhất:
$$x+\dfrac{\tan 38^\circ}{\tan 30^\circ}\,x=11 \ \Rightarrow\ x\left(1+\dfrac{\tan 38^\circ}{\tan 30^\circ}\right)=11.$$
Với $\tan 38^\circ\approx 0{,}7813$ và $\tan 30^\circ\approx 0{,}5774$ thì $\dfrac{\tan 38^\circ}{\tan 30^\circ}\approx 1{,}3532$, nên
$$x=\dfrac{11}{1+1{,}3532}\approx 4{,}674\ (\text{cm}).$$

Tính $AH$.
$$AH=x\tan 38^\circ\approx 4{,}674\cdot 0{,}7813\approx 3{,}65\ (\text{cm}).$$

Kiểm tra lại. Khi đó $y=11-x\approx 6{,}326$ cm và $y\tan 30^\circ\approx 6{,}326\cdot 0{,}5774\approx 3{,}65$ cm, trùng với giá trị $AH$ tính ở trên nên kết quả phù hợp.

Kết luận. $AH\approx 3{,}65$ cm.

Đáp số