Giải Bài 4.23 trang 49 SBT Toán 9

Lời giải

Dựng hình – xác định điểm $B$: Ngắm từ $P$ qua $A$, tia $PA$ kéo dài cắt đường thẳng $MN$ (kéo dài về phía $N$) tại $B$. Khi đó ba điểm $P$, $A$, $B$ thẳng hàng và $B$ nằm ở bờ bên kia con sông.

Bước 1. Tính $MB$ (xét tam giác vuông $PMB$).

Vì $PM \perp MN$ nên tam giác $PMB$ vuông tại $M$. Do $A$ nằm trên đoạn $PB$ nên
$$\widehat{MPB} = \widehat{MPA} = \alpha.$$
Trong tam giác vuông $PMB$, cạnh $MB$ đối với góc $\alpha$, cạnh $PM$ kề với góc $\alpha$:
$$\tan\alpha = \frac{MB}{PM} \;\Rightarrow\; MB = PM\cdot\tan\alpha = p\tan\alpha.$$

Bước 2. Tính $NB$.

Vì $N$ nằm giữa $M$ và $B$ (do $p\tan\alpha > n$) nên
$$NB = MB - MN = p\tan\alpha - n.$$

Bước 3. Tính $AB$ (xét tam giác vuông $ANB$).

Trong tam giác vuông $PMB$, hai góc nhọn phụ nhau nên
$$\widehat{PBM} = 90^\circ - \alpha.$$
Vì $A$ thuộc tia $BP$ và $M$, $N$, $B$ cùng nằm trên đường thẳng $MN$ nên $\widehat{ABN} = \widehat{PBM} = 90^\circ - \alpha$.

Vì $AN \perp MN$ nên tam giác $ANB$ vuông tại $N$, cạnh $NB$ kề với góc $\widehat{ABN}$ còn $AB$ là cạnh huyền:
$$\cos\widehat{ABN} = \frac{NB}{AB} \;\Rightarrow\; AB = \frac{NB}{\cos(90^\circ - \alpha)} = \frac{NB}{\sin\alpha}.$$

Thay $NB = p\tan\alpha - n$ vào, ta được
$$AB = \frac{p\tan\alpha - n}{\sin\alpha}. \qquad \text{(đpcm)}$$

Kiểm tra lại: Với $M(0;0)$, $N(n;0)$, $P(0;-p)$, tia $PB$ hợp với $MN$ góc $90^\circ-\alpha$ nên cắt $MN$ tại $B(p\tan\alpha;0)$; điểm $A$ là giao của $PB$ với đường thẳng $x=n$, cho $A\big(n;\,n/\tan\alpha - p\big)$. Khi đó $AB^2 = (p\tan\alpha-n)^2 + (p - n/\tan\alpha)^2 = (p\tan\alpha-n)^2\big(1+\cot^2\alpha\big) = \dfrac{(p\tan\alpha-n)^2}{\sin^2\alpha}$, suy ra $AB = \dfrac{p\tan\alpha-n}{\sin\alpha}$, đúng như đã chứng minh.

Đáp số