Giải Bài 4.29 trang 51 SBT Toán 9

Lời giải

Hình vẽ & giả thiết. Ba điểm $A,\,B,\,H$ thẳng hàng, $B$ nằm giữa $A$ và $H$; $DH \perp AB$ tại $H$ nên $\widehat{DHA} = \widehat{DHB} = 90^\circ$. Cho $\widehat{DAH} = 15^\circ$, $\widehat{DBH} = 30^\circ$.

Bước 1 — Dùng tính chất góc ngoài của tam giác $ABD$.
Vì $A,\,B,\,H$ thẳng hàng và $B$ nằm giữa nên $\widehat{DBH}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác $ABD$. Góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó:
$$\widehat{DBH} = \widehat{DAB} + \widehat{ADB}.$$
Mà $\widehat{DAB} = \widehat{DAH} = 15^\circ$, nên
$$30^\circ = 15^\circ + \widehat{ADB} \;\Rightarrow\; \widehat{ADB} = 15^\circ.$$

Bước 2 — Tam giác $ABD$ cân.
Tam giác $ABD$ có $\widehat{DAB} = \widehat{ADB} = 15^\circ$ nên cân tại $B$, suy ra
$$BD = AB.$$

Bước 3 — Dùng tam giác vuông $BDH$.
Tam giác $BDH$ vuông tại $H$ có $\widehat{DBH} = 30^\circ$. Cạnh $DH$ là cạnh góc vuông đối diện góc $30^\circ$, còn $BD$ là cạnh huyền. Theo tính chất: trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc $30^\circ$ bằng nửa cạnh huyền, nên
$$HD = \frac{BD}{2}.$$

Kết luận. Thay $BD = AB$:
$$HD = \frac{BD}{2} = \frac{AB}{2}. \qquad \text{(đpcm)}$$

*Kiểm tra bằng số:* đặt $HD = 1$. Từ tam giác vuông $DAH$: $AH = \dfrac{HD}{\tan 15^\circ} \approx 3,732$; từ tam giác vuông $DBH$: $BH = \dfrac{HD}{\tan 30^\circ} \approx 1,732$. Khi đó $AB = AH - BH = 2$, nên $\dfrac{AB}{2} = 1 = HD$ — đúng.

Đáp số