Giải Bài 9.11 trang 53 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Gọi tam giác đều là $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, bán kính $R = 3$ cm. Với tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ cũng là trọng tâm, nên $O$ cách mỗi đỉnh một khoảng $OA = R = 3$ cm.

a) Tính độ dài cạnh.

Kẻ đường cao $AH$ từ $A$ (đồng thời là đường trung tuyến). Vì $O$ là trọng tâm nên $O$ nằm trên $AH$ và $OA = \dfrac{2}{3}AH$.

Suy ra $AH = \dfrac{3}{2}OA = \dfrac{3}{2}\cdot 3 = \dfrac{9}{2}$ (cm).

Trong tam giác đều cạnh $a$, đường cao $AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Do đó:
$$\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow a = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \text{ (cm)}.$$

b) Chu vi tam giác.
$$P = 3a = 3\cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59 \text{ (cm)}.$$

c) Diện tích tam giác.
$$S = \frac{1}{2}\cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2}\cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4} \approx 11{,}69 \text{ (cm}^2).$$

Kiểm tra. Với tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $R$ thì cạnh $a = R\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ cm (đúng); chu vi $9\sqrt{3}$ cm và diện tích $\dfrac{27\sqrt{3}}{4}$ cm$^2$ phù hợp.

Đáp số