Giải Bài 9.12 trang 53 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Gọi tam giác đều $ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $r = 3$ cm. Vì tam giác đều nên tâm $O$ của đường tròn nội tiếp cũng là giao điểm ba đường phân giác. Đường tròn tiếp xúc với cạnh $BC$ tại trung điểm $M$ của $BC$, và $OM \perp BC$ với $OM = r = 3$ cm.

a) Chu vi.
Xét tam giác vuông $OMB$ (vuông tại $M$). Do $BO$ là tia phân giác của góc $B = 60^\circ$ nên $\widehat{OBM} = 30^\circ$.

Ta có $\tan\widehat{OBM} = \dfrac{OM}{BM}$, suy ra
$$BM = \dfrac{OM}{\tan 30^\circ} = \dfrac{3}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3\sqrt{3}\ (\text{cm}).$$

Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên cạnh tam giác là
$$a = BC = 2BM = 6\sqrt{3}\ (\text{cm}).$$

Chu vi tam giác đều:
$$C = 3a = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \approx 31{,}18\ (\text{cm}).$$

b) Diện tích.
Đường cao của tam giác đều hạ từ đỉnh $A$ xuống $BC$:
$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{18}{2} = 9\ (\text{cm}).$$

Diện tích tam giác:
$$S = \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot h = \dfrac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 9 = 27\sqrt{3} \approx 46{,}77\ (\text{cm}^2).$$

Kiểm tra. Có thể tính diện tích theo công thức $S = r\cdot p$ (với $p$ là nửa chu vi): $p = \dfrac{18\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$, nên $S = 3\cdot 9\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ cm². Kết quả trùng khớp.

Đáp số