Giải Bài 9.13 trang 53 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $S$ là diện tích tam giác, $p$ là nửa chu vi. Ta dùng công thức $S = p\cdot r$ (đã học ở lớp 9), suy ra $r = \dfrac{S}{p}$.

Bước 1. Tính cạnh huyền $BC$.
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo định lí Pythagore:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52.$$
Do đó $BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ (cm).

Bước 2. Tính diện tích $S$ và nửa chu vi $p$.
Tam giác vuông tại $A$ nên hai cạnh góc vuông $AB,\ AC$ là đường cao ứng với nhau:
$$S = \frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC = \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6 = 12\ (\text{cm}^2).$$
Nửa chu vi:
$$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{4 + 6 + 2\sqrt{13}}{2} = 5 + \sqrt{13}\ (\text{cm}).$$

Bước 3. Tính bán kính $r$.
$$r = \frac{S}{p} = \frac{12}{5 + \sqrt{13}} = \frac{12\,(5 - \sqrt{13})}{(5 + \sqrt{13})(5 - \sqrt{13})} = \frac{12\,(5 - \sqrt{13})}{25 - 13} = \frac{12\,(5 - \sqrt{13})}{12} = 5 - \sqrt{13}.$$

Vậy $r = 5 - \sqrt{13} \approx 1{,}39$ (cm).

Kiểm tra lại. Với tam giác vuông tại $A$ còn có công thức nhanh $r = \dfrac{AB + AC - BC}{2} = \dfrac{4 + 6 - 2\sqrt{13}}{2} = 5 - \sqrt{13}$, trùng với kết quả trên. Mặt khác $\sqrt{13}\approx 3{,}61$ nên $r \approx 1{,}39$ cm, hợp lí vì $r$ phải nhỏ hơn hai cạnh góc vuông. $\checkmark$

Đáp số