Giải Bài 9.15 trang 53 SBT Toán 9

Lời giải

Nhận xét chung: $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $O$ là tâm, $OA = OB = OC$ (bán kính). Gọi $\widehat{BAC} = A$, $\widehat{ABC} = B$. (Lời giải trình bày cho tam giác $ABC$ nhọn, để $O$ và $H$ nằm trong tam giác.)

### a) Chứng minh $\widehat{OBC} = 90^\circ - \widehat{BAC}$

Xét cung $BC$ không chứa $A$. Theo quan hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung $BC$:

$$\widehat{BOC} = 2\,\widehat{BAC} = 2A.$$

Tam giác $OBC$ có $OB = OC$ (bán kính) nên là tam giác cân tại $O$, do đó hai góc ở đáy bằng nhau:

$$\widehat{OBC} = \widehat{OCB}.$$

Tổng ba góc trong tam giác $OBC$ bằng $180^\circ$:

$$\widehat{OBC} + \widehat{OCB} + \widehat{BOC} = 180^\circ \;\Rightarrow\; 2\,\widehat{OBC} + 2A = 180^\circ.$$

Suy ra

$$\widehat{OBC} = \dfrac{180^\circ - 2A}{2} = 90^\circ - A = 90^\circ - \widehat{BAC}. \qquad \blacksquare$$

###

b) Chứng minh $\widehat{BAH} = \widehat{OAC}$

Tính $\widehat{BAH}$: Vì $H$ là trực tâm nên $AH$ nằm trên đường cao kẻ từ $A$. Gọi $K$ là chân đường cao đó trên $BC$, khi đó $AK \perp BC$. Trong tam giác vuông $ABK$ (vuông tại $K$):

$$\widehat{BAK} + \widehat{ABK} = 90^\circ \;\Rightarrow\; \widehat{BAH} = \widehat{BAK} = 90^\circ - \widehat{ABC} = 90^\circ - B.$$

Tính $\widehat{OAC}$: Làm hoàn toàn tương tự câu a) với tam giác cân $OAC$. Góc $\widehat{ABC}$ là góc nội tiếp chắn cung $AC$, nên góc ở tâm chắn cùng cung đó là

$$\widehat{AOC} = 2\,\widehat{ABC} = 2B.$$

Tam giác $OAC$ cân tại $O$ ($OA = OC$) nên $\widehat{OAC} = \widehat{OCA}$, và

$$2\,\widehat{OAC} + \widehat{AOC} = 180^\circ \;\Rightarrow\; \widehat{OAC} = \dfrac{180^\circ - 2B}{2} = 90^\circ - B.$$

Kết luận: Cả hai góc cùng bằng $90^\circ - B$, do đó

$$\widehat{BAH} = 90^\circ - B = \widehat{OAC}. \qquad \blacksquare$$

*(Kết quả $\widehat{BAH} = \widehat{OAC}$ cho thấy $AH$ và $AO$ là hai tia đối xứng nhau qua tia phân giác của góc $A$.)*

Đáp số