Giải Bài 9.16 trang 53 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$ nên $(I)$ là đường tròn nội tiếp tam giác, tức là $I$ là giao điểm ba đường phân giác trong. Do đó các tia $AI, BI, CI$ lần lượt là tia phân giác của các góc $\widehat{BAC}, \widehat{CBA}, \widehat{ACB}$. Ta đặt $\widehat{BAC}=A$, $\widehat{CBA}=B$, $\widehat{ACB}=C$, khi đó $A+B+C=180^\circ$.

a) Chứng minh $\widehat{BIC}=90^\circ+\dfrac{\widehat{BAC}}{2}$.

Vì $BI$ là phân giác của $\widehat{CBA}$ nên $\widehat{IBC}=\dfrac{B}{2}$; vì $CI$ là phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ICB}=\dfrac{C}{2}$.

Xét tam giác $BIC$, tổng ba góc bằng $180^\circ$:
$$\widehat{BIC}=180^\circ-\widehat{IBC}-\widehat{ICB}=180^\circ-\dfrac{B}{2}-\dfrac{C}{2}=180^\circ-\dfrac{B+C}{2}.$$

Mà $A+B+C=180^\circ$ nên $B+C=180^\circ-A$, suy ra $\dfrac{B+C}{2}=90^\circ-\dfrac{A}{2}$. Thay vào:
$$\widehat{BIC}=180^\circ-\left(90^\circ-\dfrac{A}{2}\right)=90^\circ+\dfrac{A}{2}=90^\circ+\dfrac{\widehat{BAC}}{2}.\quad\text{(đpcm)}$$

b) Chứng minh $\widehat{CIA}=90^\circ+\dfrac{\widehat{CBA}}{2}$.

Tương tự, $CI$ là phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ICA}=\dfrac{C}{2}$; $AI$ là phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{IAC}=\dfrac{A}{2}$.

Xét tam giác $CIA$:
$$\widehat{CIA}=180^\circ-\widehat{ICA}-\widehat{IAC}=180^\circ-\dfrac{C}{2}-\dfrac{A}{2}=180^\circ-\dfrac{C+A}{2}.$$

Vì $C+A=180^\circ-B$ nên $\dfrac{C+A}{2}=90^\circ-\dfrac{B}{2}$, do đó:
$$\widehat{CIA}=180^\circ-\left(90^\circ-\dfrac{B}{2}\right)=90^\circ+\dfrac{B}{2}=90^\circ+\dfrac{\widehat{CBA}}{2}.\quad\text{(đpcm)}$$

c) Chứng minh $\widehat{AIB}=90^\circ+\dfrac{\widehat{ACB}}{2}$.

Tương tự, $AI$ là phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{IAB}=\dfrac{A}{2}$; $BI$ là phân giác của $\widehat{CBA}$ nên $\widehat{IBA}=\dfrac{B}{2}$.

Xét tam giác $AIB$:
$$\widehat{AIB}=180^\circ-\widehat{IAB}-\widehat{IBA}=180^\circ-\dfrac{A}{2}-\dfrac{B}{2}=180^\circ-\dfrac{A+B}{2}.$$

Vì $A+B=180^\circ-C$ nên $\dfrac{A+B}{2}=90^\circ-\dfrac{C}{2}$, do đó:
$$\widehat{AIB}=180^\circ-\left(90^\circ-\dfrac{C}{2}\right)=90^\circ+\dfrac{C}{2}=90^\circ+\dfrac{\widehat{ACB}}{2}.\quad\text{(đpcm)}$$

Nhận xét. Cả ba kết quả đều lớn hơn $90^\circ$, phù hợp vì góc ở tâm nội tiếp luôn là góc tù. Kiểm tra với tam giác đều ($A=B=C=60^\circ$): $\widehat{BIC}=90^\circ+30^\circ=120^\circ$, đúng với ba góc tạo bởi tâm nội tiếp của tam giác đều.

Đáp số