Giải Bài 9.17 trang 53 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích hình vẽ: Vì $D$ nằm trên cung nhỏ $BC$ (cung $BC$ không chứa $A$) nên thứ tự các điểm trên đường tròn $(O)$ là $A,\ B,\ D,\ C$. Do đó tia $AD$ nằm trong góc $\widehat{BAC}$; tia $AM$ (với $M$ thuộc cạnh $BC$) cũng nằm trong góc $\widehat{BAC}$.

Xét hai tam giác $AMB$ và $ACD$ (theo thứ tự đỉnh $A\leftrightarrow A,\ M\leftrightarrow C,\ B\leftrightarrow D$).

Bước 1. Chứng minh $\widehat{MAB}=\widehat{CAD}$.

Theo giả thiết $\widehat{BAD}=\widehat{MAC}$. Vì cả hai tia $AD$ và $AM$ đều nằm trong góc $\widehat{BAC}$ nên:

$$\widehat{MAB}=\widehat{BAC}-\widehat{MAC},\qquad \widehat{CAD}=\widehat{BAC}-\widehat{BAD}.$$

Mà $\widehat{MAC}=\widehat{BAD}$, suy ra

$$\widehat{MAB}=\widehat{CAD}. \quad(1)$$

Bước 2. Chứng minh $\widehat{ABM}=\widehat{ADC}$.

Vì $M$ thuộc cạnh $BC$ nên $\widehat{ABM}=\widehat{ABC}$.

Hai góc nội tiếp $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ADC}$ của đường tròn $(O)$ cùng chắn cung $AC$ (cung $AC$ chứa $B$ và $D$, vì thứ tự các điểm là $A,B,D,C$), nên chúng bằng nhau:

$$\widehat{ABC}=\widehat{ADC}.$$

Vậy

$$\widehat{ABM}=\widehat{ADC}. \quad(2)$$

Bước 3. Kết luận.

Từ $(1)$ và $(2)$, hai tam giác $AMB$ và $ACD$ có:

$$\widehat{MAB}=\widehat{CAD},\qquad \widehat{ABM}=\widehat{ADC}.$$

Theo trường hợp đồng dạng góc – góc (g.g):

$$\triangle AMB \backsim \triangle ACD \ (\text{đpcm}).$$

Đáp số