Giải Bài 9.18 trang 54 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích hình vẽ.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và nội tiếp đường tròn $(O)$ nên cạnh huyền $AC$ là một đường kính của $(O)$. Theo giả thiết, $BD$ cũng là một đường kính của $(O)$.

Bước 1. Xét tam giác $BCD$.

Góc $\widehat{BCD}$ là góc nội tiếp chắn đường kính $BD$ nên:
$$\widehat{BCD} = 90^\circ.$$
Vậy tam giác $BCD$ vuông tại $C$, do đó hai góc nhọn phụ nhau:
$$\widehat{CBD} + \widehat{BDC} = 90^\circ. \quad (1)$$

Bước 2. Dùng hai góc nội tiếp cùng chắn một cung.

Hai góc $\widehat{BAC}$ (đỉnh $A$) và $\widehat{BDC}$ (đỉnh $D$) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BC$ nên bằng nhau:
$$\widehat{BDC} = \widehat{BAC}. \quad (2)$$

Bước 3. Lập phương trình tìm góc $\widehat{BAC}$.

Thay $(2)$ vào $(1)$:
$$\widehat{CBD} + \widehat{BAC} = 90^\circ.$$
Mặt khác, theo giả thiết $\widehat{BAC} = 2\,\widehat{CBD}$, suy ra $\widehat{CBD} = \dfrac{1}{2}\widehat{BAC}$. Thay vào:
$$\frac{1}{2}\widehat{BAC} + \widehat{BAC} = 90^\circ \;\Rightarrow\; \frac{3}{2}\widehat{BAC} = 90^\circ \;\Rightarrow\; \widehat{BAC} = 60^\circ.$$

Kiểm tra. Khi $\widehat{BAC} = 60^\circ$ thì $\widehat{CBD} = 30^\circ$, và $\widehat{BAC} = 2\cdot 30^\circ = 60^\circ$ đúng bằng giả thiết; đồng thời $\widehat{CBD} + \widehat{BDC} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$ phù hợp với tam giác $BCD$ vuông tại $C$.

Kết luận. $\widehat{BAC} = 60^\circ.$

Đáp số