Giải Bài 9.20 trang 54 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Vì $\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$ với tỉ số $k$ nên các cạnh tương ứng tỉ lệ và các góc tương ứng bằng nhau:
$$\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{CA}{C'A'}=\dfrac{AB}{A'B'}=k,\qquad \widehat{A}=\widehat{A'},\ \widehat{B}=\widehat{B'},\ \widehat{C}=\widehat{C'}.$$

a) Chứng minh $\dfrac{R}{R'}=k$ (đường tròn ngoại tiếp).

Xét $\triangle ABC$ nội tiếp đường tròn $(O,R)$. Kẻ đường kính $BD$ của $(O)$ ($D$ nằm trên đường tròn).

- Góc $\widehat{BCD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{BCD}=90^\circ$, do đó $\triangle BCD$ vuông tại $C$.
- Hai góc nội tiếp $\widehat{BDC}$ và $\widehat{BAC}$ cùng chắn cung $BC$ nên $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}=\widehat{A}$.

Trong tam giác vuông $BCD$ (cạnh huyền $BD=2R$):
$$\sin\widehat{BDC}=\dfrac{BC}{BD}\ \Rightarrow\ BC=2R\sin\widehat{A}.$$

Làm hoàn toàn tương tự với $\triangle A'B'C'$ nội tiếp $(O',R')$:
$$B'C'=2R'\sin\widehat{A'}.$$

Vì $\widehat{A}=\widehat{A'}$ nên $\sin\widehat{A}=\sin\widehat{A'}$. Chia vế theo vế:
$$\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{2R\sin\widehat{A}}{2R'\sin\widehat{A'}}=\dfrac{R}{R'}.$$

Mà $\dfrac{BC}{B'C'}=k$, suy ra $\boxed{\dfrac{R}{R'}=k}$.

b) Chứng minh $\dfrac{r}{r'}=k$ (đường tròn nội tiếp).

Xét $\triangle ABC$ với đường tròn nội tiếp $(I,r)$. Vì $(I,r)$ tiếp xúc với cả ba cạnh nên khoảng cách từ $I$ đến mỗi cạnh đều bằng $r$. Nối $I$ với ba đỉnh, tam giác $ABC$ được chia thành ba tam giác $IBC,\ ICA,\ IAB$ có đường cao hạ từ $I$ đều bằng $r$. Do đó:
$$S_{ABC}=\tfrac{1}{2}r\cdot BC+\tfrac{1}{2}r\cdot CA+\tfrac{1}{2}r\cdot AB=r\cdot\dfrac{AB+BC+CA}{2}=r\cdot p,$$
với $p=\dfrac{AB+BC+CA}{2}$ là nửa chu vi. Vậy $r=\dfrac{S_{ABC}}{p}$. Tương tự $r'=\dfrac{S_{A'B'C'}}{p'}$ với $p'$ là nửa chu vi $\triangle A'B'C'$.

Vì hai tam giác đồng dạng tỉ số $k$ nên:
- Tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng: $\dfrac{p}{p'}=k$.
- Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng: $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}=k^2$.

Suy ra:
$$\dfrac{r}{r'}=\dfrac{\dfrac{S_{ABC}}{p}}{\dfrac{S_{A'B'C'}}{p'}}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}\cdot\dfrac{p'}{p}=k^2\cdot\dfrac{1}{k}=k.$$

Vậy $\boxed{\dfrac{r}{r'}=k}$.

Kết luận. $\dfrac{R}{R'}=\dfrac{r}{r'}=k$ (đpcm).

Đáp số