Giải Bài 9.22 trang 55 SBT Toán 9

Lời giải

Nhận xét chung. Bốn điểm $A,B,C,D$ nằm trên $(O)$ theo thứ tự nên bốn góc ở tâm có tổng bằng $360^\circ$:
$$\widehat{AOB}+\widehat{BOC}+\widehat{COD}+\widehat{DOA}=360^\circ.$$
Mỗi tam giác $OAB,\,OBC,\,OCD,\,ODA$ là tam giác cân tại $O$ (vì $OA=OB=OC=OD=R$). Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau, nên chẳng hạn ở tam giác $OAB$ ta có $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=\dfrac{180^\circ-\widehat{AOB}}{2}$. Mỗi góc của tứ giác được tách thành tổng hai góc đáy của hai tam giác cân kề nó.

---

### a) $\widehat{AOB}=100^\circ;\ \widehat{BOC}=120^\circ;\ \widehat{COD}=70^\circ$

Ta tìm góc ở tâm còn lại:
$$\widehat{DOA}=360^\circ-100^\circ-120^\circ-70^\circ=70^\circ.$$

Các góc đáy của bốn tam giác cân tại $O$:

- $\triangle OAB$: $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=\dfrac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ.$
- $\triangle OBC$: $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\dfrac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$
- $\triangle OCD$: $\widehat{OCD}=\widehat{ODC}=\dfrac{180^\circ-70^\circ}{2}=55^\circ.$
- $\triangle ODA$: $\widehat{ODA}=\widehat{OAD}=\dfrac{180^\circ-70^\circ}{2}=55^\circ.$

Suy ra số đo các góc của tứ giác:
$$\widehat{A}=\widehat{OAB}+\widehat{OAD}=40^\circ+55^\circ=95^\circ,$$
$$\widehat{B}=\widehat{OBA}+\widehat{OBC}=40^\circ+30^\circ=70^\circ,$$
$$\widehat{C}=\widehat{OCB}+\widehat{OCD}=30^\circ+55^\circ=85^\circ,$$
$$\widehat{D}=\widehat{ODC}+\widehat{ODA}=55^\circ+55^\circ=110^\circ.$$

*Kiểm tra:* $\widehat{A}+\widehat{C}=95^\circ+85^\circ=180^\circ$ và $\widehat{B}+\widehat{D}=70^\circ+110^\circ=180^\circ$ — đúng tính chất tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp.

---

###

b) $\widehat{BOC}=110^\circ;\ \widehat{COD}=70^\circ;\ \widehat{DOA}=100^\circ$

Ta tìm góc ở tâm còn lại:
$$\widehat{AOB}=360^\circ-110^\circ-70^\circ-100^\circ=80^\circ.$$

Các góc đáy của bốn tam giác cân tại $O$:

- $\triangle OAB$: $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=\dfrac{180^\circ-80^\circ}{2}=50^\circ.$
- $\triangle OBC$: $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\dfrac{180^\circ-110^\circ}{2}=35^\circ.$
- $\triangle OCD$: $\widehat{OCD}=\widehat{ODC}=\dfrac{180^\circ-70^\circ}{2}=55^\circ.$
- $\triangle ODA$: $\widehat{ODA}=\widehat{OAD}=\dfrac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ.$

Suy ra số đo các góc của tứ giác:
$$\widehat{A}=\widehat{OAB}+\widehat{OAD}=50^\circ+40^\circ=90^\circ,$$
$$\widehat{B}=\widehat{OBA}+\widehat{OBC}=50^\circ+35^\circ=85^\circ,$$
$$\widehat{C}=\widehat{OCB}+\widehat{OCD}=35^\circ+55^\circ=90^\circ,$$
$$\widehat{D}=\widehat{ODC}+\widehat{ODA}=55^\circ+40^\circ=95^\circ.$$

*Kiểm tra:* $\widehat{A}+\widehat{C}=90^\circ+90^\circ=180^\circ$ và $\widehat{B}+\widehat{D}=85^\circ+95^\circ=180^\circ$ — thỏa mãn.

Đáp số