Giải Bài 9.24 trang 56 SBT Toán 9

Lời giải

Nhắc lại hai kiến thức dùng trong bài (đều thuộc chương trình lớp 9):

- *Góc nội tiếp:* Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
- *Góc ngoài tam giác:* Số đo góc ngoài của một tam giác bằng tổng số đo hai góc trong không kề với nó.

Trong tứ giác nội tiếp $ABCD$, các đỉnh theo thứ tự $A,B,C,D$ trên $(O)$. Vì hai tia $AB$ và $DC$ cắt nhau tại $K$ nên ba điểm $A,B,K$ thẳng hàng và ba điểm $D,C,K$ thẳng hàng. Vì $H$ là giao của hai đường chéo nên ba điểm $B,H,D$ thẳng hàng và ba điểm $A,H,C$ thẳng hàng.

Hai góc nội tiếp sẽ dùng nhiều lần:

- $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=\dfrac{1}{2}\,\text{sđ}\,\overset{\frown}{AD}$ (cùng chắn cung $AD$ không chứa $B$).
- $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\,\text{sđ}\,\overset{\frown}{BC}$ (cùng chắn cung $BC$ không chứa $A$).

a) Chứng minh $\widehat{BKC}=\dfrac{1}{2}\left(\text{sđ}\,\overset{\frown}{AD}-\text{sđ}\,\overset{\frown}{BC}\right)$.

Vì $K,C,D$ thẳng hàng nên tia $KC$ và tia $KD$ trùng nhau, do đó $\widehat{BKC}=\widehat{BKD}$. Ta xét tam giác $KBD$.

Vì $A,B,K$ thẳng hàng ($B$ nằm giữa $A$ và $K$) nên $\widehat{ABD}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác $KBD$. Theo tính chất góc ngoài của tam giác:
$$\widehat{ABD}=\widehat{BKD}+\widehat{BDK}.$$

Mặt khác, vì $K,C,D$ thẳng hàng nên tia $DK$ trùng tia $DC$, suy ra $\widehat{BDK}=\widehat{BDC}$. Thay các góc nội tiếp đã nêu:
$$\dfrac{1}{2}\,\text{sđ}\,\overset{\frown}{AD}=\widehat{BKD}+\dfrac{1}{2}\,\text{sđ}\,\overset{\frown}{BC}.$$

Do đó:
$$\widehat{BKC}=\widehat{BKD}=\dfrac{1}{2}\,\text{sđ}\,\overset{\frown}{AD}-\dfrac{1}{2}\,\text{sđ}\,\overset{\frown}{BC}=\dfrac{1}{2}\left(\text{sđ}\,\overset{\frown}{AD}-\text{sđ}\,\overset{\frown}{BC}\right).$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Chứng minh $\widehat{BHC}=\dfrac{1}{2}\left(\text{sđ}\,\overset{\frown}{AD}+\text{sđ}\,\overset{\frown}{BC}\right)$.

Xét tam giác $HDC$ (với $H$ là giao của hai đường chéo). Vì $B,H,D$ thẳng hàng ($H$ nằm giữa $B$ và $D$) nên $\widehat{BHC}$ là góc ngoài tại đỉnh $H$ của tam giác $HDC$. Theo tính chất góc ngoài của tam giác:
$$\widehat{BHC}=\widehat{HDC}+\widehat{HCD}.$$

Vì $B,H,D$ thẳng hàng nên tia $DH$ trùng tia $DB$, suy ra $\widehat{HDC}=\widehat{BDC}=\dfrac{1}{2}\,\text{sđ}\,\overset{\frown}{BC}$.

Vì $A,H,C$ thẳng hàng nên tia $CH$ trùng tia $CA$, suy ra $\widehat{HCD}=\widehat{ACD}=\dfrac{1}{2}\,\text{sđ}\,\overset{\frown}{AD}$.

Do đó:
$$\widehat{BHC}=\dfrac{1}{2}\,\text{sđ}\,\overset{\frown}{BC}+\dfrac{1}{2}\,\text{sđ}\,\overset{\frown}{AD}=\dfrac{1}{2}\left(\text{sđ}\,\overset{\frown}{AD}+\text{sđ}\,\overset{\frown}{BC}\right).$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Đáp số