Giải Bài 9.25 trang 56 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích hình vẽ. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$; tia $AB$ và tia $DC$ cắt nhau tại $I$, nên $B$ nằm giữa $A$ và $I$, còn $C$ nằm giữa $D$ và $I$.

### a) Chứng minh $\triangle IAD \backsim \triangle ICB$ và $\triangle IAC \backsim \triangle IDB$

• $\triangle IAD \backsim \triangle ICB$:

Xét hai tam giác $IAD$ và $ICB$ có:

- Góc $I$ chung (tức $\widehat{AID} = \widehat{CIB}$).
- Vì $ABCD$ là tứ giác nội tiếp nên hai góc đối bù nhau: $\widehat{BAD} + \widehat{BCD} = 180^\circ$.

Do $B$ nằm giữa $A$ và $I$ nên $\widehat{IAD} = \widehat{BAD}$.

Do $C$ nằm giữa $D$ và $I$ nên $\widehat{BCD}$ và $\widehat{ICB}$ là hai góc kề bù: $\widehat{ICB} = 180^\circ - \widehat{BCD} = \widehat{BAD} = \widehat{IAD}$.

Vậy $\widehat{IAD} = \widehat{ICB}$. Hai tam giác có góc $I$ chung và một cặp góc bằng nhau nên:
$$\triangle IAD \backsim \triangle ICB \ (\text{g.g}).$$

• $\triangle IAC \backsim \triangle IDB$:

Xét hai tam giác $IAC$ và $IDB$ có:

- Góc $I$ chung.
- $\widehat{IAC} = \widehat{BAC}$ (vì $I$ thuộc tia $AB$) và $\widehat{IDB} = \widehat{CDB}$ (vì $I$ thuộc tia $DC$). Mà $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BDC}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BC$ nên bằng nhau: $\widehat{BAC} = \widehat{BDC}$.

Suy ra $\widehat{IAC} = \widehat{IDB}$. Vậy:
$$\triangle IAC \backsim \triangle IDB \ (\text{g.g}).$$

###

b) Chứng minh $\dfrac{IC}{ID} = \dfrac{AC}{AD}\cdot\dfrac{BC}{BD}$

Từ $\triangle IAD \backsim \triangle ICB$ (ý a) ta có tỉ số đồng dạng:
$$\frac{IA}{IC} = \frac{ID}{IB} = \frac{AD}{CB} \quad\Rightarrow\quad \frac{IB}{ID} = \frac{CB}{AD} = \frac{BC}{AD}. \tag{1}$$

Từ $\triangle IAC \backsim \triangle IDB$ (ý a) ta có tỉ số đồng dạng:
$$\frac{IA}{ID} = \frac{IC}{IB} = \frac{AC}{DB} \quad\Rightarrow\quad \frac{IC}{IB} = \frac{AC}{BD}. \tag{2}$$

Nhân $(2)$ với $(1)$ vế theo vế:
$$\frac{IC}{ID} = \frac{IC}{IB}\cdot\frac{IB}{ID} = \frac{AC}{BD}\cdot\frac{BC}{AD} = \frac{AC}{AD}\cdot\frac{BC}{BD}.$$

Vậy $\dfrac{IC}{ID} = \dfrac{AC}{AD}\cdot\dfrac{BC}{BD}$ (đpcm).

Kiểm tra lại: ở bước nhân, các cạnh $IB$ bị triệt tiêu, kết quả chỉ còn chứa $AC, AD, BC, BD$ đúng như yêu cầu — lập luận khớp.

Đáp số