Giải Bài 9.26 trang 56 SBT Toán 9

Lời giải

a) Chứng minh $\triangle JAD \backsim \triangle JBC$ và $\triangle JAB \backsim \triangle JDC$.

*Xét $\triangle JAD$ và $\triangle JBC$:*

- $\widehat{AJD} = \widehat{BJC}$ (hai góc đối đỉnh).
- Vì $J$ nằm trên $AC$ nên $\widehat{JAD} = \widehat{CAD}$; vì $J$ nằm trên $BD$ nên $\widehat{JBC} = \widehat{DBC}$. Hai góc nội tiếp $\widehat{CAD}$ và $\widehat{DBC}$ cùng chắn cung $DC$ của $(O)$ nên $\widehat{CAD} = \widehat{DBC}$. Do đó $\widehat{JAD} = \widehat{JBC}$.

Vậy $\triangle JAD \backsim \triangle JBC$ (g.g).

*Xét $\triangle JAB$ và $\triangle JDC$:*

- $\widehat{AJB} = \widehat{DJC}$ (hai góc đối đỉnh).
- Vì $J$ nằm trên $AC$ nên $\widehat{JAB} = \widehat{CAB}$; vì $J$ nằm trên $BD$ nên $\widehat{JDC} = \widehat{BDC}$. Hai góc nội tiếp $\widehat{CAB}$ và $\widehat{BDC}$ cùng chắn cung $BC$ của $(O)$ nên $\widehat{CAB} = \widehat{BDC}$. Do đó $\widehat{JAB} = \widehat{JDC}$.

Vậy $\triangle JAB \backsim \triangle JDC$ (g.g).

b) Chứng minh $\dfrac{JA}{JC} = \dfrac{BA}{BC} \cdot \dfrac{DA}{DC}$.

Từ $\triangle JAD \backsim \triangle JBC$ (câu a), ta có tỉ số các cạnh tương ứng:
$$\frac{JA}{JB} = \frac{AD}{BC} \quad (1)$$

Từ $\triangle JAB \backsim \triangle JDC$ (câu a), ta có tỉ số các cạnh tương ứng:
$$\frac{JB}{JC} = \frac{AB}{DC} \quad (2)$$

Nhân từng vế của $(1)$ và $(2)$:
$$\frac{JA}{JB} \cdot \frac{JB}{JC} = \frac{AD}{BC} \cdot \frac{AB}{DC}.$$

Vế trái rút gọn $JB$, ta được:
$$\frac{JA}{JC} = \frac{AB}{BC} \cdot \frac{AD}{DC} = \frac{BA}{BC} \cdot \frac{DA}{DC}.$$

Vậy $\dfrac{JA}{JC} = \dfrac{BA}{BC} \cdot \dfrac{DA}{DC}$ (đpcm).

Đáp số