Giải Bài 9.30 trang 56 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Vì $ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau: $AC \perp BD$.

Bước 1. Xét các đoạn nối trung điểm.

- $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$:
$$MN \parallel AC,\qquad MN = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4\ (\text{cm}).$$
- $Q$, $P$ lần lượt là trung điểm của $DA$, $CD$ nên $QP$ là đường trung bình của tam giác $ACD$:
$$QP \parallel AC,\qquad QP = \frac{AC}{2} = 4\ (\text{cm}).$$
- $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CD$ nên $NP$ là đường trung bình của tam giác $BCD$:
$$NP \parallel BD,\qquad NP = \frac{BD}{2} = \frac{4}{2} = 2\ (\text{cm}).$$
- $M$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $DA$ nên $MQ$ là đường trung bình của tam giác $ABD$:
$$MQ \parallel BD,\qquad MQ = \frac{BD}{2} = 2\ (\text{cm}).$$

Bước 2. Chứng minh $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Từ trên: $MN \parallel QP$ và $MN = QP = 4$ cm, nên tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.

Lại có $MN \parallel AC$ và $NP \parallel BD$, mà $AC \perp BD$ nên $MN \perp NP$, tức $\widehat{MNP} = 90^\circ$.

Hình bình hành $MNPQ$ có một góc vuông nên $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Bước 3. $MNPQ$ nội tiếp đường tròn.

Hình chữ nhật có bốn đỉnh cùng cách đều giao điểm hai đường chéo (hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường). Do đó bốn điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ cùng nằm trên một đường tròn tâm $O$ là giao điểm hai đường chéo $MP$ và $NQ$. Vậy tứ giác $MNPQ$ nội tiếp một đường tròn (đpcm).

Bước 4. Tính bán kính.

Đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật chính là đường chéo của nó. Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $MNP$:
$$MP = \sqrt{MN^2 + NP^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\ (\text{cm}).$$

Bán kính đường tròn:
$$R = \frac{MP}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\ (\text{cm}).$$

Kiểm tra. $R = \sqrt{5}$ cm, $R^2 = 5$; mỗi đỉnh cách tâm $O$ một khoảng $\sqrt{MO^2}$ với $MO = \dfrac{MP}{2}$, phù hợp với $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$ (nửa cạnh $4$ và nửa cạnh $2$). Đáp số nhất quán.

Đáp số