Giải Bài 9.31 trang 56 SBT Toán 9

Lời giải

Bước 1. Tìm bán kính (đường kính) của đường tròn $(O)$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn $(O)$ nên hai đường chéo của hình chữ nhật là đường kính của $(O)$ (tâm $O$ là giao điểm hai đường chéo).

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $A$, theo định lí Pythagore:
$$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow BD = 5\ (\text{cm}).$$

Vậy đường kính của $(O)$ là $BD = 5$ cm.

Bước 2. Liên hệ với hình vuông nội tiếp $(O)$.

Gọi hình vuông nội tiếp $(O)$ là $MNPQ$ có cạnh $a$. Hình vuông cũng là một hình chữ nhật nội tiếp $(O)$, nên đường chéo của nó cũng là đường kính của $(O)$:
$$MP = BD = 5\ (\text{cm}).$$

Trong tam giác $MNP$ vuông tại $N$, theo định lí Pythagore:
$$MP^2 = MN^2 + NP^2 = a^2 + a^2 = 2a^2.$$

Do đó:
$$2a^2 = 5^2 = 25 \Rightarrow a^2 = \dfrac{25}{2} = 12,5.$$

Bước 3. Tính diện tích hình vuông.

Diện tích hình vuông là:
$$S = a^2 = 12,5\ (\text{cm}^2).$$

Kiểm tra: Cạnh hình vuông $a=\sqrt{12,5}\approx 3,54$ cm; đường chéo $a\sqrt2=\sqrt{12,5}\cdot\sqrt2=\sqrt{25}=5$ cm $=BD$, đúng là đường kính. Vậy kết quả $S=12,5\ \text{cm}^2$ là chính xác.

Đáp số