Giải Bài 3.28 trang 40 SBT Toán 9

Lời giải

a) $\sqrt{12-\sqrt{23}}\cdot\sqrt{12+\sqrt{23}}$

Vì $12-\sqrt{23}>0$ và $12+\sqrt{23}>0$ nên áp dụng quy tắc $\sqrt{A}\cdot\sqrt{B}=\sqrt{AB}$ (với $A,B\ge 0$):

$$\sqrt{12-\sqrt{23}}\cdot\sqrt{12+\sqrt{23}}=\sqrt{\left(12-\sqrt{23}\right)\left(12+\sqrt{23}\right)}.$$

Dùng hằng đẳng thức $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$$\left(12-\sqrt{23}\right)\left(12+\sqrt{23}\right)=12^2-\left(\sqrt{23}\right)^2=144-23=121.$$

Vậy biểu thức bằng $\sqrt{121}=11$.

b) $\left(\sqrt{9-\sqrt{17}}+\sqrt{9+\sqrt{17}}\right)^2$

Áp dụng hằng đẳng thức $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ với $x=\sqrt{9-\sqrt{17}}$, $y=\sqrt{9+\sqrt{17}}$ (đều không âm):

$$\left(\sqrt{9-\sqrt{17}}+\sqrt{9+\sqrt{17}}\right)^2=\left(9-\sqrt{17}\right)+2\sqrt{9-\sqrt{17}}\cdot\sqrt{9+\sqrt{17}}+\left(9+\sqrt{17}\right).$$

Phần tích hai căn:

$$2\sqrt{\left(9-\sqrt{17}\right)\left(9+\sqrt{17}\right)}=2\sqrt{9^2-\left(\sqrt{17}\right)^2}=2\sqrt{81-17}=2\sqrt{64}=2\cdot 8=16.$$

Do đó:

$$\left(9-\sqrt{17}\right)+\left(9+\sqrt{17}\right)+16=18+16=34.$$

Vậy biểu thức bằng $34$.

Đáp số