Giải Bài 4.33 trang 52 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Tam giác $CAB$ có $CA = 90$ m, $CB = 150$ m và góc $\widehat{CAB} = 120^\circ$ (góc tù). Ta cần tính $AB$. Vì góc $A$ tù nên ta kẻ đường cao từ $C$ xuống đường thẳng $AB$ rồi dùng tỉ số lượng giác và định lí Py-ta-go.

Bước 1. Kẻ đường cao. Kẻ $CH \perp AB$ tại $H$ (H thuộc đường thẳng $AB$).

Do $\widehat{CAB} = 120^\circ > 90^\circ$ nên chân đường cao $H$ nằm ngoài đoạn $AB$, về phía đối diện với $B$ qua $A$. Khi đó:
$$\widehat{CAH} = 180^\circ - \widehat{CAB} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ.$$

Bước 2. Xét tam giác vuông $CAH$ (vuông tại $H$), có $CA = 90$ m, $\widehat{CAH} = 60^\circ$:
$$AH = CA\cdot\cos 60^\circ = 90\cdot\tfrac{1}{2} = 45 \text{ (m)},$$
$$CH = CA\cdot\sin 60^\circ = 90\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 45\sqrt{3} \text{ (m)}.$$

Bước 3. Xét tam giác vuông $CHB$ (vuông tại $H$), có $CB = 150$ m, $CH = 45\sqrt{3}$ m. Theo định lí Py-ta-go:
$$BH = \sqrt{CB^2 - CH^2} = \sqrt{150^2 - (45\sqrt{3})^2} = \sqrt{22500 - 6075} = \sqrt{16425} = 15\sqrt{73} \approx 128{,}16 \text{ (m)}.$$

Bước 4. Tính $AB$. Vì $H$ nằm ngoài đoạn $AB$ (về phía $A$) nên $A$ nằm giữa $H$ và $B$, do đó:
$$AB = BH - AH = 15\sqrt{73} - 45 \approx 128{,}16 - 45 = 83{,}16 \text{ (m)}.$$

Làm tròn đến mét: $AB \approx 83$ m.

Kiểm tra lại. Trong tam giác $CHB$: $BH^2 + CH^2 = 16425 + 6075 = 22500 = 150^2 = CB^2$ (đúng). Với $AB \approx 83{,}16$ m thì khoảng cách giữa $A$ và $B$ phù hợp với các số liệu đã cho.

Vậy khoảng cách giữa hai địa điểm $A$ và $B$ xấp xỉ $83$ m.

Đáp số