Giải Bài 5.5 trang 56 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Vì $AB$ là đường kính nên $O$ là tâm đường tròn, do đó $OA = OB = OM = ON = R$ (đều là bán kính). Điểm $M$ và điểm $N$ nằm khác phía đối với đường thẳng $AB$.

Bước 1. Chứng minh $\triangle AOM = \triangle BON$.

Xét hai tam giác $AOM$ và $BON$ có:

- $OA = OB$ (cùng bằng bán kính $R$);
- $OM = ON$ (cùng bằng bán kính $R$);
- $AM = BN$ (giả thiết).

Suy ra $\triangle AOM = \triangle BON$ (c.c.c).

Do đó $\widehat{AOM} = \widehat{BON}$.

Bước 2. Chứng minh ba điểm $M,\, O,\, N$ thẳng hàng.

Vì ba điểm $A,\, O,\, B$ thẳng hàng (do $AB$ là đường kính đi qua tâm $O$) nên hai góc $\widehat{AOM}$ và $\widehat{MOB}$ là hai góc kề bù:
$$\widehat{AOM} + \widehat{MOB} = 180^\circ.$$

Thay $\widehat{AOM} = \widehat{BON}$ (đã chứng minh ở Bước 1) vào, ta được:
$$\widehat{BON} + \widehat{MOB} = 180^\circ.$$

Mặt khác, do $M$ và $N$ nằm khác phía đối với đường thẳng $AB$ nên tia $OB$ nằm giữa hai tia $OM$ và $ON$, suy ra:
$$\widehat{MON} = \widehat{MOB} + \widehat{BON} = 180^\circ.$$

Vậy ba điểm $M,\, O,\, N$ thẳng hàng.

Bước 3. Kết luận.

Vì $M,\, O,\, N$ thẳng hàng và $OM = ON\ (= R)$ nên $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$. $\blacksquare$

Đáp số