Giải Bài 5.7 trang 59 SBT Toán 9

Lời giải

a) Chứng minh ba điểm $A$, $O$, $E$ thẳng hàng.

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên hai dây $AB = AC$. Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau, do đó:
$$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}.$$
Suy ra $A$ là điểm chính giữa của cung lớn $BC$ (cung $BC$ chứa $A$), nên $A$ cách đều hai điểm $B$, $C$, tức $A$ nằm trên đường trung trực của dây $BC$.

Theo giả thiết $\overset{\frown}{BE} = \overset{\frown}{EC}$ nên $E$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $BC$, do đó $EB = EC$, tức $E$ cũng nằm trên đường trung trực của dây $BC$.

Tâm $O$ của đường tròn luôn nằm trên đường trung trực của mọi dây, nên $O$ nằm trên đường trung trực của $BC$.

Vậy ba điểm $A$, $O$, $E$ cùng nằm trên đường trung trực của dây $BC$, suy ra $A$, $O$, $E$ thẳng hàng (đpcm).

Hơn nữa, vì đường thẳng $AOE$ đi qua tâm $O$ nên $AE$ là đường kính của đường tròn $(O)$.

b) Chứng minh $AH < AB < AE$.

*So sánh $AH$ và $AB$:* $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$ nên $AH \perp BC$. Tam giác $AHB$ vuông tại $H$, có cạnh huyền là $AB$. Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền nên:
$$AH < AB. \quad (1)$$

*So sánh $AB$ và $AE$:* Theo câu a), $AE$ là đường kính của $(O)$. Điểm $B$ nằm trên đường tròn nên $\widehat{ABE}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó $\widehat{ABE} = 90^\circ$. Tam giác $ABE$ vuông tại $B$, có cạnh huyền là $AE$, nên cạnh góc vuông $AB$ nhỏ hơn cạnh huyền $AE$:
$$AB < AE. \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:
$$AH < AB < AE \quad (\text{đpcm}).$$

Đáp số