Giải Bài 9.38 trang 60 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích: Lục giác đều $ABCDEF$ có một đường tròn ngoại tiếp tâm $O$ (tâm của lục giác). Ta sẽ chứng minh sáu trung điểm $A', B', C', D', E', F'$ cũng nằm trên một đường tròn tâm $O$ và chia đường tròn đó thành sáu cung bằng nhau, từ đó suy ra $A'B'C'D'E'F'$ là lục giác đều.

Bước 1. Gọi $O$ là tâm của lục giác đều $ABCDEF$.

Vì $ABCDEF$ là lục giác đều nên $O$ cách đều các đỉnh:
$$OA = OB = OC = OD = OE = OF = R,$$
và các góc ở tâm bằng nhau:
$$\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COD} = \widehat{DOE} = \widehat{EOF} = \widehat{FOA} = \dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ.$$

Bước 2. Các trung điểm cách đều tâm $O$.

Xét tam giác $OAB$ có $OA = OB = R$ và $\widehat{AOB} = 60^\circ$, nên tam giác $OAB$ là tam giác đều cạnh $R$. Vì $A'$ là trung điểm của $AB$ nên $OA'$ là đường trung tuyến (đồng thời là đường cao) của tam giác đều này, do đó:
$$OA' = R\cdot\cos 30^\circ = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}.$$

Làm hoàn toàn tương tự với các tam giác đều $OBC, OCD, ODE, OEF, OFA$ (chúng bằng nhau), ta được:
$$OA' = OB' = OC' = OD' = OE' = OF' = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}.$$

Vậy sáu điểm $A', B', C', D', E', F'$ cùng nằm trên một đường tròn tâm $O$, bán kính $r = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$.

Bước 3. Các góc ở tâm giữa hai trung điểm liên tiếp đều bằng $60^\circ$.

Trong tam giác đều (cũng là tam giác cân) $OAB$, đường trung tuyến $OA'$ đồng thời là đường phân giác của góc $\widehat{AOB}$, nên
$$\widehat{AOA'} = \widehat{A'OB} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOB} = 30^\circ.$$
Tương tự, $OB'$ là phân giác của $\widehat{BOC}$ nên $\widehat{BOB'} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOC} = 30^\circ.$

Do tia $OB$ nằm giữa hai tia $OA'$ và $OB'$, ta có:
$$\widehat{A'OB'} = \widehat{A'OB} + \widehat{BOB'} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ.$$

Lập luận tương tự cho mọi cặp liên tiếp, ta được:
$$\widehat{A'OB'} = \widehat{B'OC'} = \widehat{C'OD'} = \widehat{D'OE'} = \widehat{E'OF'} = \widehat{F'OA'} = 60^\circ.$$

Bước 4. Kết luận.

Sáu điểm $A', B', C', D', E', F'$ nằm trên đường tròn tâm $O$ và chia đường tròn này thành sáu cung bằng nhau (mỗi góc ở tâm đều bằng $60^\circ$). Khi đó:

- Các cạnh $A'B', B'C', C'D', D'E', E'F', F'A'$ là các dây căng những cung bằng nhau nên bằng nhau.
- Mỗi góc của đa giác là góc nội tiếp chắn cung gồm bốn cung nhỏ bằng nhau, nên các góc bằng nhau.

Vậy $A'B'C'D'E'F'$ có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau, tức là một lục giác đều (đpcm).

Đáp số