Giải Bài 9.43 trang 60 SBT Toán 9

Lời giải

a) Vì $O$ là trung điểm của $AB$ nên $OA = OB$ và ba điểm $A$, $O$, $B$ thẳng hàng với $O$ nằm giữa.

Xét phép quay nửa vòng (phép quay $180^\circ$) tâm $O$:

- Điểm $A$ biến thành điểm $A'$ sao cho $OA' = OA$ và tia $OA'$ là tia đối của tia $OA$. Mà $B$ cũng nằm trên tia đối của tia $OA$ với $OB = OA$, nên $A' \equiv B$. Vậy phép quay $180^\circ$ tâm $O$ biến $A$ thành $B$.
- Tương tự, phép quay đó biến $B$ thành $A$.

Vậy phép quay $180^\circ$ tâm $O$ (không phân biệt chiều) biến $A$ thành $B$ và biến $B$ thành $A$.

b) Phép quay thuận chiều $90^\circ$ tâm $O$ biến $A$ thành $C$ và biến $B$ thành $D$, nên:

- $OC = OA$, $OD = OB$ (phép quay bảo toàn khoảng cách tới tâm);
- $\widehat{AOC} = 90^\circ$ và $\widehat{BOD} = 90^\circ$ (góc quay).

Kết hợp với $OA = OB$ (vì $O$ là trung điểm $AB$), ta được:
$$OA = OB = OC = OD.$$

*Hai đường chéo của tứ giác $ACBD$ là $AB$ và $CD$.*

O là trung điểm của cả hai đường chéo:
- $O$ là trung điểm $AB$ (giả thiết).
- Vì phép quay $180^\circ$ tâm $O$ biến $A$ thành $B$, nên qua phép quay thuận chiều $90^\circ$ tâm $O$, ảnh của $A$ là $C$ và ảnh của $B$ là $D$ cũng đối xứng nhau qua $O$ (ta có $OC = OD$ và $\widehat{COD} = \widehat{AOB} = 180^\circ$, tức $C$, $O$, $D$ thẳng hàng). Do đó $O$ là trung điểm $CD$.

Vậy hai đường chéo $AB$ và $CD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường $\Rightarrow ACBD$ là hình bình hành.

Hai đường chéo bằng nhau: $AB = OA + OB = 2\,OA$ và $CD = OC + OD = 2\,OA$, nên $AB = CD$. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Hai đường chéo vuông góc: $\widehat{AOC} = 90^\circ$ nên $AB \perp CD$. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.

Vậy $ACBD$ là một hình vuông (đpcm).

Đáp số