Giải Bài 9.47 trang 61 SBT Toán 9

Lời giải

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$, bán kính $R = 4$ cm.

a) Tính độ dài mỗi cạnh của tam giác $ABC$

Vì $ABC$ là tam giác đều nội tiếp đường tròn $(O)$ nên ba đỉnh $A,\,B,\,C$ chia đường tròn thành ba cung bằng nhau, mỗi cung ứng với góc ở tâm:

$$\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COA} = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ.$$

Xét cạnh $BC$. Kẻ $OH \perp BC$ tại $H$. Tam giác $OBC$ cân tại $O$ ($OB = OC = R$) nên đường cao $OH$ cũng là đường phân giác, do đó:

$$\widehat{BOH} = \frac{1}{2}\widehat{BOC} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ, \qquad BH = HC = \frac{BC}{2}.$$

Trong tam giác vuông $OHB$ (vuông tại $H$):

$$BH = OB \cdot \sin\widehat{BOH} = R\sin 60^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\ (\text{cm}).$$

Suy ra độ dài mỗi cạnh:

$$BC = 2\,BH = 2\cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\ (\text{cm}).$$

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$

Vì tam giác $ABC$ đều nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp cũng là tâm của đường tròn nội tiếp. Bán kính đường tròn nội tiếp $r$ chính là khoảng cách từ $O$ đến cạnh, tức là $r = OH$.

Vẫn trong tam giác vuông $OHB$:

$$r = OH = OB \cdot \cos\widehat{BOH} = R\cos 60^\circ = 4\cdot\frac{1}{2} = 2\ (\text{cm}).$$

Kiểm tra lại: với tam giác đều ta có $r = \dfrac{R}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$ cm (đúng). Ngoài ra $OH^2 + BH^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16 = R^2$, phù hợp với $OB = R = 4$ cm.

Vậy mỗi cạnh của tam giác dài $4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ cm và bán kính đường tròn nội tiếp là $2$ cm.

Đáp số