Giải Bài 5.19 trang 65 SBT Toán 9

Lời giải

## a) Chứng minh $MB$ là tiếp tuyến của $(O)$

Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $MO$.

Vì $AB$ là một dây của $(O)$ và $MO \perp AB$ tại $H$ nên theo quan hệ giữa đường kính và dây, đường thẳng $MO$ đi qua tâm và vuông góc với dây $AB$ sẽ đi qua trung điểm của $AB$. Do đó $H$ là trung điểm của $AB$, tức $MO$ là đường trung trực của đoạn $AB$.

Vì $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $MA = MB$.

Xét hai tam giác $MOA$ và $MOB$:
- $OA = OB$ (cùng là bán kính);
- $MA = MB$ (chứng minh trên);
- $MO$ là cạnh chung.

Suy ra $\triangle MOA = \triangle MOB$ (c.c.c), do đó $\widehat{MBO} = \widehat{MAO}$.

Mà $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ nên $OA \perp MA$, tức $\widehat{MAO} = 90^\circ$.

Vậy $\widehat{MBO} = 90^\circ$, nghĩa là $OB \perp MB$ tại $B$ thuộc $(O)$. Do đó $MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ (đpcm).

##

b) Tính $OM$ và diện tích phần tam giác $AMB$ nằm ngoài $(O)$

Cho $R = OA = OB = 3$ cm và $\widehat{MAB} = 60^\circ$.

Tính các góc. Vì $OA \perp MA$ nên $\widehat{OAB} = \widehat{MAO} - \widehat{MAB} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Tam giác $OAB$ cân tại $O$ ($OA = OB$) nên $\widehat{OBA} = \widehat{OAB} = 30^\circ$, suy ra:
$$\widehat{AOB} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ.$$

Vì $\triangle MOA = \triangle MOB$ nên $MO$ là phân giác của $\widehat{AOB}$, do đó $\widehat{AOM} = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Tính $OM$. Trong tam giác $OAM$ vuông tại $A$:
$$OM = \frac{OA}{\cos \widehat{AOM}} = \frac{3}{\cos 60^\circ} = \frac{3}{\tfrac{1}{2}} = 6 \text{ (cm)}.$$

Xác định tam giác $AMB$. Ta có $MA = OA\cdot\tan 60^\circ = 3\sqrt{3}$ (cm), và $MA = MB = 3\sqrt{3}$ cm. Lại có $\widehat{MAB} = \widehat{MBA} = 60^\circ$ nên $\widehat{AMB} = 60^\circ$. Vậy tam giác $AMB$ đều cạnh $3\sqrt{3}$ cm.

Diện tích tam giác $AMB$:
$$S_{AMB} = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (3\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 27 = \frac{27\sqrt{3}}{4} \text{ (cm}^2).$$

Phần nằm bên trong $(O)$. Hai cạnh $MA$, $MB$ là tiếp tuyến nên chỉ chạm đường tròn tại $A$, $B$; cạnh $AB$ là dây. Phần tam giác nằm trong $(O)$ chính là hình viên phân giới hạn bởi dây $AB$ và cung nhỏ $AB$ (ứng với góc ở tâm $120^\circ$).

Diện tích hình quạt $120^\circ$:
$$S_{quạt} = \frac{120}{360}\cdot \pi R^2 = \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 9 = 3\pi \text{ (cm}^2).$$

Diện tích tam giác $OAB$:
$$S_{OAB} = \frac{1}{2}\cdot OA \cdot OB \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ (cm}^2).$$

Diện tích hình viên phân (phần trong đường tròn):
$$S_{vp} = S_{quạt} - S_{OAB} = 3\pi - \frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ (cm}^2).$$

Phần tam giác $AMB$ nằm ngoài $(O)$:
$$S = S_{AMB} - S_{vp} = \frac{27\sqrt{3}}{4} - \left(3\pi - \frac{9\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{36\sqrt{3}}{4} - 3\pi = 9\sqrt{3} - 3\pi \text{ (cm}^2).$$

Vậy $S = 9\sqrt{3} - 3\pi \approx 6{,}16$ cm$^2$.

Đáp số