Giải Bài 3.14 trang 34 SBT Toán 9

Lời giải

Chứng minh $a^2 + b^2 = 1$

Điều kiện xác định: $1-a^2 \geq 0$ và $1-b^2 \geq 0$, kết hợp $a, b > 0$ suy ra $0 < a \leq 1$, $0 < b \leq 1$.

Giả thiết:
$$a - b = \sqrt{1-b^2} - \sqrt{1-a^2} \quad (1)$$

Bước 1. Nhận xét $\sqrt{1-b^2} + \sqrt{1-a^2} > 0$ (nếu tổng này bằng $0$ thì $a = b = 1$, trái với $a \neq b$).

Nhân hai vế của $(1)$ với $\sqrt{1-b^2} + \sqrt{1-a^2}$:
$$(a-b)\left(\sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-a^2}\right) = \left(\sqrt{1-b^2}\right)^2 - \left(\sqrt{1-a^2}\right)^2 = (1-b^2)-(1-a^2) = a^2 - b^2.$$

Do đó:
$$(a-b)\left(\sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-a^2}\right) = (a-b)(a+b).$$

Vì $a \neq b$ nên $a - b \neq 0$, chia cả hai vế cho $a-b$ ta được:
$$\sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-a^2} = a+b \quad (2)$$

Bước 2. Cộng vế với vế $(1)$ và $(2)$:
$$2a = 2\sqrt{1-b^2},$$

suy ra $a = \sqrt{1-b^2}$.

Bước 3. Vì hai vế đều không âm, bình phương hai vế:
$$a^2 = 1 - b^2.$$

Vậy $a^2 + b^2 = 1$ (đpcm).

Đáp số