Giải Bài 3.20 trang 36 SBT Toán 9

Lời giải

a) Trục căn ở mẫu của biểu thức $\dfrac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu là $2\sqrt{2}+1$, ta được:

$$\dfrac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1} = \dfrac{(3+\sqrt{2})(2\sqrt{2}+1)}{(2\sqrt{2}-1)(2\sqrt{2}+1)}$$

Mẫu thức là:

$$(2\sqrt{2}-1)(2\sqrt{2}+1) = (2\sqrt{2})^2 - 1^2 = 8 - 1 = 7$$

Tử thức là:

$$(3+\sqrt{2})(2\sqrt{2}+1) = 6\sqrt{2} + 3 + 2 \cdot 2 + \sqrt{2} = 7\sqrt{2} + 7 = 7(\sqrt{2}+1)$$

Vậy:

$$\dfrac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1} = \dfrac{7(\sqrt{2}+1)}{7} = \sqrt{2}+1$$

b) Tính giá trị biểu thức $P = x\left(x^4 - 6x^2 + 1\right)$ tại $x = \dfrac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$

Theo câu a), ta có $x = \sqrt{2}+1$, suy ra $x - 1 = \sqrt{2}$.

Bình phương hai vế, ta được:

$$(x-1)^2 = 2 \implies x^2 - 2x + 1 = 2 \implies x^2 = 2x + 1$$

Do đó:

$$x^4 = \left(x^2\right)^2 = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 = 4(2x+1) + 4x + 1 = 12x + 5$$

Thay vào biểu thức trong ngoặc:

$$x^4 - 6x^2 + 1 = (12x+5) - 6(2x+1) + 1 = 12x + 5 - 12x - 6 + 1 = 0$$

Vậy:

$$P = x \cdot 0 = 0$$

Đáp số