Giải Bài 1.5 trang 8 SBT Toán 9

Lời giải

Gọi $x$ là số ống loại dài $3$ m và $y$ là số ống loại dài $5$ m cần dùng, với $x, y$ là các số tự nhiên ($x, y \ge 0$).

Vì tổng chiều dài các ống phải đúng bằng $65$ m nên ta có phương trình:
$$3x + 5y = 65.$$

Ta đi tìm các nghiệm là số tự nhiên của phương trình này.

Từ phương trình, rút ra:
$$5y = 65 - 3x \;\Rightarrow\; y = \dfrac{65 - 3x}{5}.$$

Để $y$ là số tự nhiên thì $65 - 3x$ phải chia hết cho $5$. Vì $65 \;\vdots\; 5$ nên cần $3x \;\vdots\; 5$, mà $\gcd(3,5)=1$ nên $x \;\vdots\; 5$.

Kết hợp với điều kiện $y \ge 0$, tức $65 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac{65}{3} \approx 21{,}67$, ta có $x \in \{0; 5; 10; 15; 20\}$. Ứng với mỗi giá trị $x$ ta tính $y$:

| $x$ (ống 3 m) | $y$ (ống 5 m) | Kiểm tra $3x+5y$ |
|:---:|:---:|:---:|
| $0$ | $13$ | $0+65=65$ ✓ |
| $5$ | $10$ | $15+50=65$ ✓ |
| $10$ | $7$ | $30+35=65$ ✓ |
| $15$ | $4$ | $45+20=65$ ✓ |
| $20$ | $1$ | $60+5=65$ ✓ |

Vậy có $5$ phương án lắp ống mà không phải cưa ống. Ta chỉ ra ít nhất hai phương án như yêu cầu:

a) Phương án 1: Dùng $5$ ống loại $3$ m và $10$ ống loại $5$ m, vì $3\cdot 5 + 5\cdot 10 = 15 + 50 = 65$ (m).

b) Phương án 2: Dùng $10$ ống loại $3$ m và $7$ ống loại $5$ m, vì $3\cdot 10 + 5\cdot 7 = 30 + 35 = 65$ (m).

(Ngoài ra còn các phương án khác như: chỉ dùng $13$ ống $5$ m; dùng $15$ ống $3$ m và $4$ ống $5$ m; dùng $20$ ống $3$ m và $1$ ống $5$ m.)

Đáp số