Giải Bài 2.11 trang 25 SBT Toán 9

Lời giải

a) Chứng minh $a^2 > ab$ và $ab > b^2$.

Vì $a > b$ và nhân cả hai vế với số dương $a > 0$ (nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì được bất đẳng thức cùng chiều), ta có:
$$a \cdot a > a \cdot b \quad\text{tức là}\quad a^2 > ab.$$

Vì $a > b$ và nhân cả hai vế với số dương $b > 0$, ta có:
$$a \cdot b > b \cdot b \quad\text{tức là}\quad ab > b^2.$$

Vậy $a^2 > ab$ và $ab > b^2$ (đpcm).

b) Chứng minh $a^2 > b^2$ và $a^3 > b^3$.

Theo câu a), ta có $a^2 > ab$ và $ab > b^2$. Theo tính chất bắc cầu:
$$a^2 > ab > b^2 \;\Rightarrow\; a^2 > b^2.$$

Bây giờ chứng minh $a^3 > b^3$. Từ $a^2 > b^2$, nhân cả hai vế với số dương $a > 0$:
$$a \cdot a^2 > a \cdot b^2 \quad\text{tức là}\quad a^3 > ab^2. \quad (1)$$

Từ $a > b$, nhân cả hai vế với số dương $b^2 > 0$:
$$a \cdot b^2 > b \cdot b^2 \quad\text{tức là}\quad ab^2 > b^3. \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$, theo tính chất bắc cầu:
$$a^3 > ab^2 > b^3 \;\Rightarrow\; a^3 > b^3.$$

Vậy $a^2 > b^2$ và $a^3 > b^3$ (đpcm).

Đáp số