Giải Bài 6.13 trang 10 SBT Toán 9

Lời giải

Xét phương trình $(2x-1)^2 = m$. Vì vế trái $(2x-1)^2 \ge 0$ với mọi $x$, ta biện luận theo dấu của $m$.

• Trường hợp $m < 0$:

Vế trái $(2x-1)^2 \ge 0$ nhưng vế phải $m < 0$, nên phương trình vô nghiệm.

• Trường hợp $m = 0$:

Phương trình trở thành $(2x-1)^2 = 0$, suy ra $2x - 1 = 0$, tức $x = \dfrac{1}{2}$.

Phương trình có nghiệm kép $x = \dfrac{1}{2}$.

• Trường hợp $m > 0$:

Khi đó $\sqrt{m}$ xác định và ta có:
$$(2x-1)^2 = m \;\Leftrightarrow\; 2x - 1 = \sqrt{m} \;\text{ hoặc }\; 2x - 1 = -\sqrt{m}.$$

- Với $2x - 1 = \sqrt{m}$: $\;2x = 1 + \sqrt{m} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{1 + \sqrt{m}}{2}$.
- Với $2x - 1 = -\sqrt{m}$: $\;2x = 1 - \sqrt{m} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{1 - \sqrt{m}}{2}$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x = \dfrac{1 + \sqrt{m}}{2}$ và $x = \dfrac{1 - \sqrt{m}}{2}$.

Kiểm tra lại: Với $m > 0$, thay $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{m}}{2}$ thì $2x - 1 = \pm\sqrt{m}$, nên $(2x-1)^2 = (\pm\sqrt{m})^2 = m$ (đúng). Với $m = 0$ thì $x = \dfrac{1}{2}$ cho $(2x-1)^2 = 0 = m$ (đúng).

Kết luận:
- Nếu $m < 0$: phương trình vô nghiệm.
- Nếu $m = 0$: phương trình có nghiệm $x = \dfrac{1}{2}$.
- Nếu $m > 0$: phương trình có hai nghiệm $x = \dfrac{1 + \sqrt{m}}{2}$ và $x = \dfrac{1 - \sqrt{m}}{2}$.

Đáp số