Giải Bài 6.22 trang 14 SBT Toán 9

Lời giải

Phần chứng minh.

Giả sử phương trình $ax^2+bx+c=0$ (với $a\neq 0$) có hai nghiệm $x_1,\ x_2$. Theo định lí Viète, ta có:
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.$$

Xét tích $a(x-x_1)(x-x_2)$ và khai triển:
$$a(x-x_1)(x-x_2)=a\big[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\big].$$

Thay $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ và $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ vào, ta được:
$$a\Big[x^2-\Big(-\frac{b}{a}\Big)x+\frac{c}{a}\Big]=a\Big[x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\Big]=ax^2+bx+c.$$

Vậy $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ (đpcm).

Áp dụng.

a) Phân tích $2x^2-9x+7$.

Giải phương trình $2x^2-9x+7=0$ (dạng $ax^2+bx+c=0$ với $a=2$). Ta có $a+b+c=2+(-9)+7=0$ nên phương trình có hai nghiệm:
$$x_1=1,\qquad x_2=\frac{c}{a}=\frac{7}{2}.$$

Áp dụng công thức vừa chứng minh với $a=2$:
$$2x^2-9x+7=2(x-1)\Big(x-\frac{7}{2}\Big)=(x-1)(2x-7).$$

Kiểm tra: $(x-1)(2x-7)=2x^2-7x-2x+7=2x^2-9x+7$ (đúng).

b) Phân tích $4x^2+(\sqrt{2}-3)x-7+\sqrt{2}$.

Giải phương trình $4x^2+(\sqrt{2}-3)x+(\sqrt{2}-7)=0$ với $a=4,\ b=\sqrt{2}-3,\ c=\sqrt{2}-7$.

Tính biệt thức:
$$\Delta=b^2-4ac=(\sqrt{2}-3)^2-4\cdot4\cdot(\sqrt{2}-7).$$
$$(\sqrt{2}-3)^2=2-6\sqrt{2}+9=11-6\sqrt{2},\qquad 16(\sqrt{2}-7)=16\sqrt{2}-112.$$
$$\Delta=11-6\sqrt{2}-16\sqrt{2}+112=123-22\sqrt{2}.$$

Nhận thấy $123-22\sqrt{2}=121-2\cdot11\sqrt{2}+2=(11-\sqrt{2})^2$, nên $\sqrt{\Delta}=11-\sqrt{2}$ (vì $11>\sqrt{2}$).

Hai nghiệm:
$$x=\frac{-(\sqrt{2}-3)\pm(11-\sqrt{2})}{2\cdot4}=\frac{3-\sqrt{2}\pm(11-\sqrt{2})}{8}.$$
$$x_1=\frac{3-\sqrt{2}+11-\sqrt{2}}{8}=\frac{14-2\sqrt{2}}{8}=\frac{7-\sqrt{2}}{4},\qquad x_2=\frac{3-\sqrt{2}-11+\sqrt{2}}{8}=\frac{-8}{8}=-1.$$

Áp dụng công thức với $a=4$:
$$4x^2+(\sqrt{2}-3)x-7+\sqrt{2}=4\Big(x-\frac{7-\sqrt{2}}{4}\Big)\big(x-(-1)\big)=(4x-7+\sqrt{2})(x+1).$$

Kiểm tra: $(4x-7+\sqrt{2})(x+1)=4x^2+4x-7x-7+\sqrt{2}\,x+\sqrt{2}=4x^2+(\sqrt{2}-3)x-7+\sqrt{2}$ (đúng).

Đáp số